目指せ、YouTuber！！
ではないですが、ちょっと YouTube に動画を挙げてみようかと考えています。
警察を挑発して・・・とかはやりませんし、ゲーム実況をするわけでもありません。
私の数少ない趣味の１つに、パズルがあります。パズルの中には、ルービックキューブも含まれています。ルービックキューブ自体はハンガリーの建築学者の Rubik Erno が作った立体パズルです。そのパズルの解法自体は色々と知られていますが、基本的には数学、特に群論と呼ばれる分野で考えることができます・・・
っていう理屈は理解していたのですが、実際にはどうやって解くんだろうか・・・と考えたのが、大学院修了後の、大学職員時代。で、色々と考えた結果、自分で解法を見つけることができたのですが・・・
如何せん、独自の解法なので、どこにも載っていません。世に溢れる解法の殆どは、購入時についてくる解説のツクダ式か、大会でのスタンダードになってる LBL くらいです。
それに対して、私の解法は $2 \times 2 \times 2$ のポケットキューブの解法から始まっているので、所謂、 CF(Corner First) 法に分類されるものだと思われる。そこから、ポケットキューブはルービックキューブの部分群になっている、という考え方でルービックキューブの解法を見つけ、次に $4 \times 4 \times 4$ のルービックリベンジ, $5 \times 5 \times 5$ のプロフェッサーキューブというように解法を確立し、最終的には $6 \times 6 \times 6$ の V-Cube 6 も解けるようになりました。
何故, $6 \times 6 \times 6$ で終わっているのか？？実は、数学的にはこの $6 \times 6 \times 6$ とその前の $5 \times 5 \times 5$ が解けるようになると、（時間はかかるが）解けることが分かるので、これ以上は新しい解法は必要ないのである。
そういった意味でも、私は普段から触れる場所には $7 \times 7 \times 7$ までを置いている（$6 \times 6 \times 6$ などの偶数のものは中心がないので（物理的に）やりにくいので $7 \times 7 \times 7$ をやってます）。
で、ちょくちょく人から聞かれるのが、どうやって揃えるのか、と。理屈を説明しても、なかなか分かってもらえないので、実際にやりながら説明をするのですが、それでもなかなか覚えられない。ということで、動画にしてまとめてみようかと思いました。そのためには・・・まずは撮影機材を揃える必要があるんですよね・・・目線カメラとかがあれば、簡単にできそうなのですが・・・
今日は、東京大学の第３問。
$-1 \le t \le 1$ を満たす実数 $t$ に対して,
\begin{align*}
x(t) &= (1+t)\sqrt{1+t} \\
y(t) &= 3(1+t)\sqrt{1-t}
\end{align*}
とする. 座標平面上の点 $P(x(t), y(t))$ を考える.
(1) $-1 < t \le 1$ における $t$ の関数 $\dfrac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少することを示せ.
(2) 原点と $P$ の距離を $f(t)$ とする. $-1 \le t \le 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ, 最大値を求めよ.
(3) $t$ が $-1 \le t \le 1$ を動くときの $P$ の軌跡を $C$ とし, $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする. 原点を中心として $D$ を時計回りに $90^\circ$ 回転させるとき, $D$ が通過する領域の面積を求めよ.
(1) $-1 < t < 1$ のとき,
$\dfrac{y(t)}{x(t)} = \dfrac{3(1+t)\sqrt{1-t}}{(1+t)\sqrt{1+t}}$
$= \dfrac{3\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}$
である. ここで,
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{y(t)}{x(t)} = \dfrac{-\frac{3\sqrt{1+t}}{2\sqrt{1-t}}-\frac{3\sqrt{1-t}}{2\sqrt{1+t}}}{1+t}$
$= -\dfrac{3}{(1+t)\sqrt{(1-t)(1+t)}}$
であり, $-1<t<1$ より $1+t>0$, $\sqrt{1+t} > 0$, $\sqrt{1-t} > 0$ であるので $\dfrac{d}{dx}\dfrac{y(t)}{x(t)} < 0$ である, 即ち $\dfrac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少する${}_{\square}$
(2) 定義より
$f(t) = \sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}$
$= \sqrt{(1+t)^3+9(1+t)^2(1-t)}$
$= (1+t)\sqrt{(1+t)+9(1-t)}$
$= (1+t)\sqrt{10-8t}$
であるので,
$\dfrac{d}{dt}f(t) = (1+t)'\sqrt{10-8t}+(1+t)(\sqrt{10-8t})'$
$= \sqrt{10-8t}-8 \times (1+t) \times \dfrac{1}{2\sqrt{10-8t}}$
$= \sqrt{10-8t}-\dfrac{4(1+t)}{\sqrt{10-8t}}$
$= \dfrac{(10-8t)-4(1+t)}{\sqrt{10-8t}}$
$= \dfrac{6-12t}{\sqrt{10-8t}}$
であるので, $\dfrac{d}{dt}f(t)=0$ となるのは $t=\dfrac12$ のときのみである.
増減表は以下の通り.
$
\begin{array}{c|ccccc}
t & -1 & \cdots & \frac12 & \cdots & 1 \\
\hline
\frac{d}{dt}f(t) & + & + & 0 & - & - \\
\hline
f(t) & 0 & \nearrow & \frac32\sqrt{6} & \searrow & 2\sqrt2
\end{array}
$
これより, $-1 \le t < \dfrac12$ のとき増加, $\dfrac12 < t < 1$ のとき減少し, 最大値 $f(\frac12)=\dfrac32\sqrt6$ である.
(3) $D$ が通過する領域は下図の通り.
この領域を, $2$ つに分けて考える.
上図の領域の面積は, $x$ 軸の下側の部分を $90^\circ$ 回転させるとちょうど中心角 $90^\circ$ の扇形になるので,
$\dfrac14 \times \left(\dfrac32\sqrt6\right)^2 \times \pi = \dfrac{27}{8}\pi$
である.
それ以外の領域について, 上図のような楕円のような図形を半分にしたような図になる.
この図の面積は,
$\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt2}ydx = \int_{-1}^{1}3(1+t)\sqrt{1-t} \times \dfrac32\sqrt{1+t}dt$
$= \dfrac92\displaystyle\int_{-1}^{1}(1+t)\sqrt{1-t^2}dt$
$= \dfrac92\left(\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}dt+\int_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}dt\right) = (*)$
ここで, $-t\sqrt{1-(-t)^2}=-t\sqrt{1-t^2}$ より, $t\sqrt{1-t^2}$ は奇関数であるので $\displaystyle_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}dt=0$ である. よって,
$(*) = \dfrac92\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}dt$
$= \dfrac92\displaystyle\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2\theta}\times\cos\theta d\theta$
$= \dfrac92 \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta$
$= \dfrac94\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos2\theta+1)d\theta$
$= \dfrac94\left[\dfrac12\sin2\theta+\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \dfrac94\pi$
である.
以上より, 求める面積は
$\dfrac{27}{8}\pi+\dfrac94\pi = \dfrac{45}{8}\pi$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.07)
今日、スマホを注文しました。 SAMSUNG の Galaxy A7 です。以前書いた通り、楽天モバイルの Rakuten UN-LIMIT にしたので、それで使うスマホを・・・ではありません。使うつもりは全くないので・・・
では何故、注文したのか？？答えは簡単です。安かったので。
通常、31,500 円の端末が 17,000 円（税抜、税込みだと 18,700 円）で買えて、更に楽天ポイントで 15,000 ポイント還元になるので、端末料金が実質 3,700 円、という事に。まあ、ポイント付与は約 3 ヶ月後になるのが気になりますが、届き次第、ゲオに持ち込むか、若しくはメルカリか・・・または、誰か使いたい人がいれば、譲ってあげなくもないのですが・・・
今日も、授業で出題した問題。内容は、確率です。
どれも基本となる内容なので、しっかりと理解して欲しいところ。
(1) は千葉工大の, (2) は高知工科大の, (3) は岐阜聖徳学園大の, (4) は明海大の $2019$ 年の入試問題です.
次の問いに答えよ.
(1) $5$ 人で $1$ 回じゃんけんをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ $\dfrac13$ の確率で出すものとする. このとき, ちょうど $2$ 人が勝つ確率を求めよ.
(2) $4$ 個のサイコロを同時に投げるとき, 出る目の最小値が $2$ である確率を求めよ.
(3) サイコロを $3$ 回投げて, 出た目を順に $a$, $b$, $c$ とする. $a<b<c$ となる確率は [ア] であり, $a+b+c=7$ となる確率は [イ] である.
(4) $4$ 個のさいころを同時に投げたとき, 少なくとも $2$ 個のさいころの目が同じになる確率を求めよ.
(1)
勝つ $2$ 人の組み合わせは ${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通り, 勝敗のつき方は
(グー, グー, チョキ, チョキ, チョキ), (チョキ, チョキ, パー, パー, パー), (パー, パー, グー, グー, グー) の $3$ 通りであるので,
$\dfrac{{}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 3}{3^5} = \dfrac{10}{81}$.
(別解)
考え方を変えて, 積事象として考える. $5$ 人ぞれぞれがどの手を出すかは独立である.
勝つ $2$ 人のうち $1$ 人目はどの手を出してもいいので $1$, $2$ 人目は同じ手を出さなくてはいけないので $\dfrac13$, 負ける $3$ 人はそれぞれ負ける手を出さなくてはいけないのでそれぞれ $\dfrac13$ である. よって, 求める確率は
${}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 1 \times \dfrac13 \times \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{10}{81}$.
(2)
解法を知っている人にはなにも難しくないのだが, 知らないと戸惑うもところ. そういうときは, 個数を減らして考える.
サイコロ $2$ 個とし, 表で考える.
$
\begin{array}{c|cccccc}
最小値 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\
6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
$
この表より, 最小値が $2$ になるのは $9$ 通り... なのだが, 数えては意味がない. サイコロ $2$ 個だから $2$ 次元の表にまとめられたのであり, サイコロ $4$ 個のときは $4$ 次元の表にまとめる... なんですか, $4$ 次元の表って... まあ, $4$ 次元の表も作れるのですが...
ということで, 表で数えるのではなく, 計算で求める, という方針で.
表を見れば分かる通り, $6$ は $1 \times 1$ の正方形に, $5$ と $6$ を合わせると $2 \times 2$ の正方形に, $4$ と $5$ と $6$ を合わせると $3 \times 3$ の正方形に, というように並んでいる. これより, $2$ の個数は $5^2-4^2$ 個であることが分かる.
これをサイコロ $4$ 個で考えれば, $5^4-4^4$ 個である.
よって, 求める確率は
$\dfrac{5^4-4^4}{6^4} = \dfrac{(5^2+4^2)(5^2-4^2)}{6^4}$
$= \dfrac{41 \times 9}{2^4 \times 3^4}$
$= \dfrac{41}{2^4 \times 3^2}$
$= \dfrac{41}{144}$.
この分子の計算は, $4^4$ とか $5^4$ はよく出てくるので暗算で問題ないが, 引き算なんて面倒なので（私は）したくない. なので, こういうときは因数分解で計算を簡単に済ませるのが得策である.
(3)
具体的にいくつか例を考えてみる. 題意を満たす例としては,
$(1, 2, 3)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 2, 5)$, ... , $(4, 5, 6)$
がある. これを見ていると, $6$ 個の数字の中から $3$ 個を選んでいることが分かるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^3} = \dfrac{5}{54}$.
後半も, 具体的に考えてみる.
$(1, 1, 5)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 3, 3)$, ...
ここからは色々と考えつく.
(考え方 1) まず, 一般的な考え方としては, 合計が $7$ なので, $7$ をどう分けるかの問題である. という事なので,
○○○○○○○
のような, $7$ 個の○を分ける. 分ける為には境目を $2$ つ入れればいいのだが, 入れられる候補は $7$ 個の○の間なので $6$ 箇所ある. つまり, $6$ 箇所から $2$ 箇所を選んで境目を入れればいいので, ${}_{6}\mathrm{C}_{2}$ 通りである. よって, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 2) これはサイコロを投げるのが $3$ 回だから出来る問題であり, $4$ 回になったらちょっと厳しい解法である. $a+b$ の値が $7$ 未満であれば, $c$ の値は一意に決まる. 例えば, $a+b=5$ であれば $c=2$ である. これより,
$
\begin{array}{ccc}
a+b & & 組み合わせ \\
a+b=2 & \Longrightarrow & 1 \\
a+b=3 & \Longrightarrow & 2 \\
a+b=4 & \Longrightarrow & 3 \\
a+b=5 & \Longrightarrow & 4 \\
a+b=6 & \Longrightarrow & 5
\end{array}
$
であるので, 求める確率は
$\dfrac{1+2+3+4+5}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 3) もっと具体的に考えて, 全部数える解法. 題意を満たす組み合わせは,
$(1, 1, 5)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(1, 2, 4)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3!$ 通り
$(1, 3, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(2, 2, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
であるので, 求める確率は
$\dfrac{3+3!+3+3}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(4) 「少なくとも」って言われたら, もちろん余事象を考えましょう. 「少なくとも $2$ 個が同じ」の余事象は「すべて異なる」である. 全て異なる目になるには, $6$ 個の数字から $4$ 個を選んで並べればよいので, 求める確率は
$1-\dfrac{{}_{6}\mathrm{P}_{4}}{6^4} = \dfrac{13}{18}$.
何で問題文で, (2), (3) は「サイコロ」なのに, (4) だけ「さいころ」なのか... だって, 入試問題なので, そのまま書き写しただけですから...
では何故、注文したのか？？答えは簡単です。安かったので。
通常、31,500 円の端末が 17,000 円（税抜、税込みだと 18,700 円）で買えて、更に楽天ポイントで 15,000 ポイント還元になるので、端末料金が実質 3,700 円、という事に。まあ、ポイント付与は約 3 ヶ月後になるのが気になりますが、届き次第、ゲオに持ち込むか、若しくはメルカリか・・・または、誰か使いたい人がいれば、譲ってあげなくもないのですが・・・
今日も、授業で出題した問題。内容は、確率です。
どれも基本となる内容なので、しっかりと理解して欲しいところ。
(1) は千葉工大の, (2) は高知工科大の, (3) は岐阜聖徳学園大の, (4) は明海大の $2019$ 年の入試問題です.
次の問いに答えよ.
(1) $5$ 人で $1$ 回じゃんけんをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ $\dfrac13$ の確率で出すものとする. このとき, ちょうど $2$ 人が勝つ確率を求めよ.
(2) $4$ 個のサイコロを同時に投げるとき, 出る目の最小値が $2$ である確率を求めよ.
(3) サイコロを $3$ 回投げて, 出た目を順に $a$, $b$, $c$ とする. $a<b<c$ となる確率は [ア] であり, $a+b+c=7$ となる確率は [イ] である.
(4) $4$ 個のさいころを同時に投げたとき, 少なくとも $2$ 個のさいころの目が同じになる確率を求めよ.
(1)
勝つ $2$ 人の組み合わせは ${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通り, 勝敗のつき方は
(グー, グー, チョキ, チョキ, チョキ), (チョキ, チョキ, パー, パー, パー), (パー, パー, グー, グー, グー) の $3$ 通りであるので,
$\dfrac{{}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 3}{3^5} = \dfrac{10}{81}$.
(別解)
考え方を変えて, 積事象として考える. $5$ 人ぞれぞれがどの手を出すかは独立である.
勝つ $2$ 人のうち $1$ 人目はどの手を出してもいいので $1$, $2$ 人目は同じ手を出さなくてはいけないので $\dfrac13$, 負ける $3$ 人はそれぞれ負ける手を出さなくてはいけないのでそれぞれ $\dfrac13$ である. よって, 求める確率は
${}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 1 \times \dfrac13 \times \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{10}{81}$.
(2)
解法を知っている人にはなにも難しくないのだが, 知らないと戸惑うもところ. そういうときは, 個数を減らして考える.
サイコロ $2$ 個とし, 表で考える.
$
\begin{array}{c|cccccc}
最小値 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\
6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
$
この表より, 最小値が $2$ になるのは $9$ 通り... なのだが, 数えては意味がない. サイコロ $2$ 個だから $2$ 次元の表にまとめられたのであり, サイコロ $4$ 個のときは $4$ 次元の表にまとめる... なんですか, $4$ 次元の表って... まあ, $4$ 次元の表も作れるのですが...
ということで, 表で数えるのではなく, 計算で求める, という方針で.
表を見れば分かる通り, $6$ は $1 \times 1$ の正方形に, $5$ と $6$ を合わせると $2 \times 2$ の正方形に, $4$ と $5$ と $6$ を合わせると $3 \times 3$ の正方形に, というように並んでいる. これより, $2$ の個数は $5^2-4^2$ 個であることが分かる.
これをサイコロ $4$ 個で考えれば, $5^4-4^4$ 個である.
よって, 求める確率は
$\dfrac{5^4-4^4}{6^4} = \dfrac{(5^2+4^2)(5^2-4^2)}{6^4}$
$= \dfrac{41 \times 9}{2^4 \times 3^4}$
$= \dfrac{41}{2^4 \times 3^2}$
$= \dfrac{41}{144}$.
この分子の計算は, $4^4$ とか $5^4$ はよく出てくるので暗算で問題ないが, 引き算なんて面倒なので（私は）したくない. なので, こういうときは因数分解で計算を簡単に済ませるのが得策である.
(3)
具体的にいくつか例を考えてみる. 題意を満たす例としては,
$(1, 2, 3)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 2, 5)$, ... , $(4, 5, 6)$
がある. これを見ていると, $6$ 個の数字の中から $3$ 個を選んでいることが分かるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^3} = \dfrac{5}{54}$.
後半も, 具体的に考えてみる.
$(1, 1, 5)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 3, 3)$, ...
ここからは色々と考えつく.
(考え方 1) まず, 一般的な考え方としては, 合計が $7$ なので, $7$ をどう分けるかの問題である. という事なので,
○○○○○○○
のような, $7$ 個の○を分ける. 分ける為には境目を $2$ つ入れればいいのだが, 入れられる候補は $7$ 個の○の間なので $6$ 箇所ある. つまり, $6$ 箇所から $2$ 箇所を選んで境目を入れればいいので, ${}_{6}\mathrm{C}_{2}$ 通りである. よって, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 2) これはサイコロを投げるのが $3$ 回だから出来る問題であり, $4$ 回になったらちょっと厳しい解法である. $a+b$ の値が $7$ 未満であれば, $c$ の値は一意に決まる. 例えば, $a+b=5$ であれば $c=2$ である. これより,
$
\begin{array}{ccc}
a+b & & 組み合わせ \\
a+b=2 & \Longrightarrow & 1 \\
a+b=3 & \Longrightarrow & 2 \\
a+b=4 & \Longrightarrow & 3 \\
a+b=5 & \Longrightarrow & 4 \\
a+b=6 & \Longrightarrow & 5
\end{array}
$
であるので, 求める確率は
$\dfrac{1+2+3+4+5}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(考え方 3) もっと具体的に考えて, 全部数える解法. 題意を満たす組み合わせは,
$(1, 1, 5)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(1, 2, 4)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3!$ 通り
$(1, 3, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(2, 2, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
であるので, 求める確率は
$\dfrac{3+3!+3+3}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.
(4) 「少なくとも」って言われたら, もちろん余事象を考えましょう. 「少なくとも $2$ 個が同じ」の余事象は「すべて異なる」である. 全て異なる目になるには, $6$ 個の数字から $4$ 個を選んで並べればよいので, 求める確率は
$1-\dfrac{{}_{6}\mathrm{P}_{4}}{6^4} = \dfrac{13}{18}$.
何で問題文で, (2), (3) は「サイコロ」なのに, (4) だけ「さいころ」なのか... だって, 入試問題なので, そのまま書き写しただけですから...
東京大学（理系・２０２０）第２問
最近、 Classroom を使ってどこまで出来るか考えています。
使い方によってはどこまでも出来るんでしょうけど、とりあえず今の授業でプラスになることをしたい、と思いまして・・・
基本的に、提出物とか嫌いな人なので、それをなんとか減らしたい、と思っています。回収しなければいい、っていう事はダメなんですよね・・・成績評価に入れないといけないので。テストでは点数取れなかったけど、授業はちゃんと聞いて、問題もちゃんと解いてるよ、だから成績なんとかして、っていうやつですね。
別に、そんな成績評価が嫌だとか、そういうことではないんですよ。単純に、モノを集めるのが嫌なんですよね。特に、真面目なクラスの授業をしていると、９割くらいの生徒がちゃんと提出してくるので、職員室に持ち帰るのも大変だし、それをチェックするのはもっと大変。特に、机の上を片付けるのが下手くそな私としては、モノを増やしたくない・・・
そんなわけで、考えました。現在、３年生の演習の授業でやっている、週末課題と同じ方法でいけるのではないか、と。
で、考えました。
現在、授業での問題演習は控えています。なので、教科書の練習問題を解いて、それを写真に撮って、Classroom で提出させる、その際に、授業ノートも一緒に写真に撮って提出。そうすれば、テスト後に提出する必要もなくなるし、私としてもいつでもノートチェックを出来るので、いいことですね。
その為にも、２学年だけでも、 Gmail の導入と Classroom への設定を積極的にやらせないといけないので、ここ数日、そのマニュアルを作ったり、生徒のアドレスを連絡先にインポートするためのファイルを作成したりと、色々と裏で動いていました。来週のホームルームの時間で、なんとか設定できればいいのですが・・・
今日は、先日の続きで、東京大学の第２問。２次関数の問題ですね。
平面上の点 $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にないとき, それらを $3$ 頂点とする三角形の面積を $\triangle PQR$ で表す. また, $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にあるときは, $\triangle PQR=0$ とする.
$A$, $B$, $C$ を平面上の $3$ 点とし, $\triangle ABC=1$ とする. この平面上の点 $X$ が
$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \le 3$
を満たしながら動くとき, $X$ の動きうる範囲の面積を求めよ.
(i) 点 $X$ が $\triangle ABC$ の内部または周上にあるとすると,
$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1$
より, 不適.
(ii) 線分 $AX$ と線分 $BC$ が交わるとすると,
$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1 + 2 \triangle BCX$
であるので,
$2 \le 1+2\triangle BCX \le 3$
$1 \le 2\triangle BCX \le 2$
$\dfrac12 \le \triangle BCX \le 1$
である. よって, 底辺を $BC$ として考えると, 点 $A$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の範囲となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.
(iii) $3$ つの線分 $XA$, $XB$, $XC$ のどれも $3$ 辺と交わらないとき,
この図のような位置だとすると,
$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 2 \triangle ABX - 1$
であるので,
$2 \le 2\triangle ABX-1 \le 3$
$3 \le 2\triangle ABX \le 4$
$\dfrac32 \le \triangle ABX \le 2$
である. よって, 底辺を $AB$ として考えると, 点 $C$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の距離となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.
(ii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $2$ 倍の図形から $1.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$2^2-\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac74$
である.
(iii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $1$ 倍の図形から $0.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$1^2-\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34$
である.
以上より, 求める面積は
$\dfrac74 \times 3 + \dfrac34 \times 3 = \dfrac{15}2$
である.
使い方によってはどこまでも出来るんでしょうけど、とりあえず今の授業でプラスになることをしたい、と思いまして・・・
基本的に、提出物とか嫌いな人なので、それをなんとか減らしたい、と思っています。回収しなければいい、っていう事はダメなんですよね・・・成績評価に入れないといけないので。テストでは点数取れなかったけど、授業はちゃんと聞いて、問題もちゃんと解いてるよ、だから成績なんとかして、っていうやつですね。
別に、そんな成績評価が嫌だとか、そういうことではないんですよ。単純に、モノを集めるのが嫌なんですよね。特に、真面目なクラスの授業をしていると、９割くらいの生徒がちゃんと提出してくるので、職員室に持ち帰るのも大変だし、それをチェックするのはもっと大変。特に、机の上を片付けるのが下手くそな私としては、モノを増やしたくない・・・
そんなわけで、考えました。現在、３年生の演習の授業でやっている、週末課題と同じ方法でいけるのではないか、と。
で、考えました。
現在、授業での問題演習は控えています。なので、教科書の練習問題を解いて、それを写真に撮って、Classroom で提出させる、その際に、授業ノートも一緒に写真に撮って提出。そうすれば、テスト後に提出する必要もなくなるし、私としてもいつでもノートチェックを出来るので、いいことですね。
その為にも、２学年だけでも、 Gmail の導入と Classroom への設定を積極的にやらせないといけないので、ここ数日、そのマニュアルを作ったり、生徒のアドレスを連絡先にインポートするためのファイルを作成したりと、色々と裏で動いていました。来週のホームルームの時間で、なんとか設定できればいいのですが・・・
今日は、先日の続きで、東京大学の第２問。２次関数の問題ですね。
平面上の点 $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にないとき, それらを $3$ 頂点とする三角形の面積を $\triangle PQR$ で表す. また, $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にあるときは, $\triangle PQR=0$ とする.
$A$, $B$, $C$ を平面上の $3$ 点とし, $\triangle ABC=1$ とする. この平面上の点 $X$ が
$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \le 3$
を満たしながら動くとき, $X$ の動きうる範囲の面積を求めよ.
(i) 点 $X$ が $\triangle ABC$ の内部または周上にあるとすると,
$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1$
より, 不適.
(ii) 線分 $AX$ と線分 $BC$ が交わるとすると,
$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1 + 2 \triangle BCX$
であるので,
$2 \le 1+2\triangle BCX \le 3$
$1 \le 2\triangle BCX \le 2$
$\dfrac12 \le \triangle BCX \le 1$
である. よって, 底辺を $BC$ として考えると, 点 $A$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の範囲となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.
(iii) $3$ つの線分 $XA$, $XB$, $XC$ のどれも $3$ 辺と交わらないとき,
この図のような位置だとすると,
$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 2 \triangle ABX - 1$
であるので,
$2 \le 2\triangle ABX-1 \le 3$
$3 \le 2\triangle ABX \le 4$
$\dfrac32 \le \triangle ABX \le 2$
である. よって, 底辺を $AB$ として考えると, 点 $C$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の距離となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.
(ii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $2$ 倍の図形から $1.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$2^2-\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac74$
である.
(iii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $1$ 倍の図形から $0.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$1^2-\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34$
である.
以上より, 求める面積は
$\dfrac74 \times 3 + \dfrac34 \times 3 = \dfrac{15}2$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.06）
３年生の演習の授業で、Google Classroom を使い始めてもうすぐ２ヶ月になりそうです。基本的に、レポートの提出とその評価くらいしか使っていないのですが、それでも十分に便利です。
２年生でも問題演習がメインの授業があるので、そちらでも使うことにしました。
しかも今回、ここ最近で状況が大きく変わって、生徒全員にメールアドレスが発行されました。
以前も書いたのですが、本校は G Suite for education を使っています。で、 for education の場合、メールアドレスは無制限に発行できるので、生徒全員分を今回、発行してみました。
とはいえ、学校ドメインのメールアドレスを生徒に使わせると、悪用される可能性もありますので・・・
と思って色々と調べていたら、色々と制限をかけることができるようでした。他にも色々と権限を設定できるようだったので、試しに使わせてみよう、と。
そんなわけで、２年生の方は全員のメールアドレスが分かっているので、直接招待を送って参加させることにしました。
それは別にいいのですが・・・メールアドレスを全校生徒分発行された、って事は・・・３年生の方は、各自で Gmailのアドレスを作成させたのに・・・今までやってきたレポートのデータを残しながら、アカウントのアドレスを変更って出来るのでしょうか？？ G Suite のマニュアル、日本語もあるのですが、非常に分かりづらいんですよね・・・
今回は、場合の数の問題。どれも基本といえば基本な問題ばかり。第 1 問の (4) は、ちゃんと状況を理解していれば難しくないはずなのだが、なかなかノーヒントで正解できる生徒は多くなかった。
第 $1$ 問
$8$ 人を, 次のように班分けする分け方は何通りあるか.
(1) A 班に $3$, B 班に $3$ 人, C 班に $2$ 人
(2) $3$ 人, $3$ 人, $2$ 人の $3$ 班
(3) $2$ 人ずつの $4$ 班に分ける
(4) 無人の班がないような $2$ 班
第 $2$ 問
次の図形の辺上を動くとき, 点 A から点 B までの最短距離の道順は何通りあるか.
(1) $1$ 辺の長さが $4$ の正方形の格子線上
(2) $1$ 辺の長さが $2$ の立方体の格子線上
第 1 問
(1) A 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}$ 通り, B 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ 通り, C 班の $2$ 人を選ぶのは ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので,
${}_{8}\mathrm{C}_{3} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 560$
より $560$ 通り.
(2) (1) のうち, 班の名前を無くすと A, B の $2$ 班が重複しているので,
$\dfrac{560}{2!} = 280$
より $280$ 通り.
(3) (2) と同様に考えると,
$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}}{4!}=105$
より $105$ 通り.
(4) 各人が A, B の $2$ 班に分かれるので $2^8$ 通り, そのうち, 全員が A 班または B 班にあるのが $2$ 通り, さらに A, B 班の名前を無くすので,
$\dfrac{2^8-2}{2!} = 127$
より $127$ 通り.
第 2 問
(1) A から B への最短距離での移動は, 右へ $4$ 回, 上へ $4$ 回移動すればいいので,
${}_{8}\mathrm{C}_{4} \times {}_{4}\mathrm{C}_{4} = 70$
より $70$ 通り.
(2) A から B への最短距離での移動は, 右へ $2$ 回, 奥へ $2$ 回, 上へ $2$ 回移動すればいいので,
${}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 90$
より $90$ 通り.
こうやって問題を出題すると, 別に間違いではないのだが, 気になることがありまして...
第 2 問では
$\dfrac{8!}{4!4!} = 70$
$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$
と解答している生徒がほとんどなのです.
別に, それが悪いとかどうとかではないのですが, 本質的に同じことである第 1 問の (1) では
$\dfrac{8!}{3!3!2!} = 560$
と解答する人はいないんですよね...
なんででしょうか？？
２年生でも問題演習がメインの授業があるので、そちらでも使うことにしました。
しかも今回、ここ最近で状況が大きく変わって、生徒全員にメールアドレスが発行されました。
以前も書いたのですが、本校は G Suite for education を使っています。で、 for education の場合、メールアドレスは無制限に発行できるので、生徒全員分を今回、発行してみました。
とはいえ、学校ドメインのメールアドレスを生徒に使わせると、悪用される可能性もありますので・・・
と思って色々と調べていたら、色々と制限をかけることができるようでした。他にも色々と権限を設定できるようだったので、試しに使わせてみよう、と。
そんなわけで、２年生の方は全員のメールアドレスが分かっているので、直接招待を送って参加させることにしました。
それは別にいいのですが・・・メールアドレスを全校生徒分発行された、って事は・・・３年生の方は、各自で Gmailのアドレスを作成させたのに・・・今までやってきたレポートのデータを残しながら、アカウントのアドレスを変更って出来るのでしょうか？？ G Suite のマニュアル、日本語もあるのですが、非常に分かりづらいんですよね・・・
今回は、場合の数の問題。どれも基本といえば基本な問題ばかり。第 1 問の (4) は、ちゃんと状況を理解していれば難しくないはずなのだが、なかなかノーヒントで正解できる生徒は多くなかった。
第 $1$ 問
$8$ 人を, 次のように班分けする分け方は何通りあるか.
(1) A 班に $3$, B 班に $3$ 人, C 班に $2$ 人
(2) $3$ 人, $3$ 人, $2$ 人の $3$ 班
(3) $2$ 人ずつの $4$ 班に分ける
(4) 無人の班がないような $2$ 班
第 $2$ 問
次の図形の辺上を動くとき, 点 A から点 B までの最短距離の道順は何通りあるか.
(1) $1$ 辺の長さが $4$ の正方形の格子線上
(2) $1$ 辺の長さが $2$ の立方体の格子線上
第 1 問
(1) A 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}$ 通り, B 班の $3$ 人を選ぶのは ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ 通り, C 班の $2$ 人を選ぶのは ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので,
${}_{8}\mathrm{C}_{3} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 560$
より $560$ 通り.
(2) (1) のうち, 班の名前を無くすと A, B の $2$ 班が重複しているので,
$\dfrac{560}{2!} = 280$
より $280$ 通り.
(3) (2) と同様に考えると,
$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}}{4!}=105$
より $105$ 通り.
(4) 各人が A, B の $2$ 班に分かれるので $2^8$ 通り, そのうち, 全員が A 班または B 班にあるのが $2$ 通り, さらに A, B 班の名前を無くすので,
$\dfrac{2^8-2}{2!} = 127$
より $127$ 通り.
第 2 問
(1) A から B への最短距離での移動は, 右へ $4$ 回, 上へ $4$ 回移動すればいいので,
${}_{8}\mathrm{C}_{4} \times {}_{4}\mathrm{C}_{4} = 70$
より $70$ 通り.
(2) A から B への最短距離での移動は, 右へ $2$ 回, 奥へ $2$ 回, 上へ $2$ 回移動すればいいので,
${}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 90$
より $90$ 通り.
こうやって問題を出題すると, 別に間違いではないのだが, 気になることがありまして...
第 2 問では
$\dfrac{8!}{4!4!} = 70$
$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$
と解答している生徒がほとんどなのです.
別に, それが悪いとかどうとかではないのですが, 本質的に同じことである第 1 問の (1) では
$\dfrac{8!}{3!3!2!} = 560$
と解答する人はいないんですよね...
なんででしょうか？？
東京大学（理系・２０２０）第１問
休校が明けて、授業が始まりました。
そんなわけで、今までの堕落した生活リズムが崩れていたところから無理やり戻したためか、とんでもないことに・・・
休校期間に作った糠床を最近混ぜ忘れて・・・
御臨終となってしまいました・・・
こんなに早い期間で糠床をやっちまったのは、流石にショックで・・・
仕方がないので、じゃがいもと玉ねぎを丸のまま圧力鍋で煮付けてやりました。
それはいいとして、もう一度、糠床を作り直しますか・・・
久しぶりに、入試問題。
まずは、やるとしたらここでしょう。
東京大学、そう、私の母校・・・でも何でもないですが、とりあえずは例年通り、東京大学の入試問題の第 1 問から。
$a$, $b$, $c$, $p$ を実数とする. 不等式
$ax^2+bx+c>0$
$bx^2+cx+a>0$
$cx^2+ax+b>0$
をすべて満たす実数 $x$ の集合と, $x>p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする.
(1) $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であることを示せ.
(2) $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ であることを示せ.
(3) $p=0$であることを示せ.
(1) $a<0$ であると仮定すると, $y=ax^2+bx+c$ のグラフは上に凸の放物線となる. すると,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(ax^2+bx+c)=-\infty$
であるので, どのような実数 $p$ に対しても $x>p$ を満たすような範囲で十分大きな $x$ に対して $ax^2+bx+c>0$ が成り立たない. 故に $a\ge0$ である.
同様に, $b\ge0$, $c\ge0$ が成り立つ${}_{\square}$
(2) $a>0$, $b>0$, $c>0$ と仮定する. $ax^2+bx+c>0$ の解は, $b^2-4ac\ge0$ のときは $x<\alpha_1$, $\beta_1<x$ ($\alpha_1\le\beta_1$)と表すことができ, $b^2-4ac<0$ のときはすべての実数である.
同様に, $bx^2+cx+a>0$ の解は $x<\alpha_2$, $\beta_2<x$ またはすべての実数, $cx^2+ax+b>0$ の解は $x<\alpha_3$, $\beta_3<x$ またはすべての実数である.
$3$ つの $2$ 次不等式すべての解が“すべての実数”であるとき, $3$ つの不等式をすべて満たす実数 $x$ の集合は実数全体となるので不適.
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ の中で存在するものの最小値を $\alpha$ とすると, $x<\alpha$ でも全ての不等式を満たすので不適.
以上より, $a>0$, $b>0$, $c>0$ ではないことが分かる. (1) より $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であるので, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ である${}_{\square}$
(3) (2) より, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ である. $a$, $b$, $c$ には対象性があるので, $c=0$ としても一般性を失わない.
$c=0$ とすると, $3$ つの不等式は
$ax^2+bx>0$
$bx^2+a>0$
$ax+b>0$
と表される.
第 $1$ 式より
$ax^2+bx>0$
$ax\left(x+\dfrac{b}{a}\right)>0$
$x<-\dfrac{b}{a}$, $0<x$.
第 $2$ 式より
$bx^2+a>0$
$bx^2>-a$
$x^2>-\dfrac{a}{b}$
$-\dfrac{a}{b}<0$ より, 解はすべての実数.
第 $3$ 式より
$ax+b>0$
$ax>-b$
$x>-\dfrac{b}{a}$
以上より, 共通解は $x>0$ であるので, $p=0$ である${}_{\square}$
そんなわけで、今までの
休校期間に作った糠床を最近混ぜ忘れて・・・
御臨終となってしまいました・・・
こんなに早い期間で糠床をやっちまったのは、流石にショックで・・・
仕方がないので、じゃがいもと玉ねぎを丸のまま圧力鍋で煮付けてやりました。
それはいいとして、もう一度、糠床を作り直しますか・・・
久しぶりに、入試問題。
まずは、やるとしたらここでしょう。
東京大学、そう、私の母校・・・でも何でもないですが、とりあえずは例年通り、東京大学の入試問題の第 1 問から。
$a$, $b$, $c$, $p$ を実数とする. 不等式
$ax^2+bx+c>0$
$bx^2+cx+a>0$
$cx^2+ax+b>0$
をすべて満たす実数 $x$ の集合と, $x>p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする.
(1) $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であることを示せ.
(2) $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ であることを示せ.
(3) $p=0$であることを示せ.
(1) $a<0$ であると仮定すると, $y=ax^2+bx+c$ のグラフは上に凸の放物線となる. すると,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(ax^2+bx+c)=-\infty$
であるので, どのような実数 $p$ に対しても $x>p$ を満たすような範囲で十分大きな $x$ に対して $ax^2+bx+c>0$ が成り立たない. 故に $a\ge0$ である.
同様に, $b\ge0$, $c\ge0$ が成り立つ${}_{\square}$
(2) $a>0$, $b>0$, $c>0$ と仮定する. $ax^2+bx+c>0$ の解は, $b^2-4ac\ge0$ のときは $x<\alpha_1$, $\beta_1<x$ ($\alpha_1\le\beta_1$)と表すことができ, $b^2-4ac<0$ のときはすべての実数である.
同様に, $bx^2+cx+a>0$ の解は $x<\alpha_2$, $\beta_2<x$ またはすべての実数, $cx^2+ax+b>0$ の解は $x<\alpha_3$, $\beta_3<x$ またはすべての実数である.
$3$ つの $2$ 次不等式すべての解が“すべての実数”であるとき, $3$ つの不等式をすべて満たす実数 $x$ の集合は実数全体となるので不適.
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ の中で存在するものの最小値を $\alpha$ とすると, $x<\alpha$ でも全ての不等式を満たすので不適.
以上より, $a>0$, $b>0$, $c>0$ ではないことが分かる. (1) より $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であるので, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ である${}_{\square}$
(3) (2) より, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ である. $a$, $b$, $c$ には対象性があるので, $c=0$ としても一般性を失わない.
$c=0$ とすると, $3$ つの不等式は
$ax^2+bx>0$
$bx^2+a>0$
$ax+b>0$
と表される.
第 $1$ 式より
$ax^2+bx>0$
$ax\left(x+\dfrac{b}{a}\right)>0$
$x<-\dfrac{b}{a}$, $0<x$.
第 $2$ 式より
$bx^2+a>0$
$bx^2>-a$
$x^2>-\dfrac{a}{b}$
$-\dfrac{a}{b}<0$ より, 解はすべての実数.
第 $3$ 式より
$ax+b>0$
$ax>-b$
$x>-\dfrac{b}{a}$
以上より, 共通解は $x>0$ であるので, $p=0$ である${}_{\square}$
授業で出題した問題（平日課題 No.05）
前回書いた通り、 Yodobashi さんで SIM フリーの iPhone SE を購入し、Rakuten UN-LIMIT に申し込みをしました。
最初に au の携帯電話から、 MNP 予約番号受付窓口の 0077-75470 に電話をかけて、予約番号を発行してもらう・・・のですが、全然つながらない・・・
新型コロナの関係でショップの窓口での受付を減らして、コールセンターへの出勤も減らしているからか、非常に繋がりにくい状況になっていました。電話をかけて、１０分を超えても繋がらない・・・
そんな状態で、問題が発生しました。前回も書いた通り、使っているガラケーは１０年以上前に発売された、 CA004 です。当然もう、バッテリーは限界になっています。そんな状態で、 Bluetooth でヘッドセットを繋いで（保留中に流れる）音楽を聞いていたら、そりゃあバッテリーも切れますよ。
そんなわけで、急遽枕元から電源コードを持ってきて繋いだ・・・のだが、もう既に手遅れ、電源が落ちていました。保留状態で、２０分くらい待ってたのに・・・
改めて電源を入れてからもう一度電話をする。結局、３０分待ってようやく電話が繋がりました。で、本人確認をしてから、 MNP 予約番号発行の担当に繋いぐ為に・・・また、保留音楽が・・・
まあ、今度は５分くらいで繋がりました。で、発行された 10 桁の予約番号を電話越しに聞いて、それをメモする。聞き間違えて、１回書き直す。そんな苦労をしたのに・・・電話の後で届いた C メールに、全部しっかりと書いてあったんですが・・・
そんな苦労（？）も乗り越えて、 Rakuten UN-LIMIT の申し込みも無事に完了しました。ということで、（詳しく分かりませんが）数時間なのか数日なのか、 au （090 から始まる方）の番号が繋がらなくなりますが・・・気にしないでください。
今回は不定方程式の別パターンの問題。ノーヒントで、しかも初見でこれを解けるかといえば恐らく無理なので、穴埋めにして、たいぶ丁寧な誘導をつけての出題。
不定方程式 $3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める.
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4$ を因数分解しようとしても, 上手くいかない. そこで, 定数項を調整して, 因数分解することを考える.
(1) $3x^2+5xy+2y^2=(x+y)([ア]x+[イ]y)$ である.
これより, 因数分解をした結果が $(x+y+m)([ア]x+[イ]y+n)$ であるとすると, 展開式の $x$, $y$ の係数より, 連立方程式
$\begin{cases}
[ア]m+n=[ウ] \\
[イ]m+n=[エ]
\end{cases}$
が成り立つ. これを解いて $m$, $n$ の値を求めることで,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])-[キ]$
である.
(2) (1) より, 与えられた不定方程式は
$(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])=[キ]$
$x+y+[オ]=1$
の $4$ パターンが考えられる. それぞれを解いて, $4$ 組の解が得られ, $y$ の値が大きい順に並べると,
$(x, y)=([ク], [ケコ]), ([サ], [シス]), ([セ], [ソタ]), ([チ], [ツテト])$
である.
（何故かシステムの都合上, $4$ パターンの連立方程式がちゃんと表記できなくなったので, $2$ 本の式を並べただけになっている）
因数分解は特に問題ないと思う.
$3x^2+5xy+2y^2 = (x+y)(3x+2y)$
これより,
$(x+y+m)(3x+2y+n) = 3x^2+5xy+2y^2+(3m+n)x+(2m+n)y+mn$
であるので, $x$, $y$ の係数より連立方程式
$3m+n=5$
$2m+n=3$
た成り立つ. これを解いて, $m=2$, $n=-1$ を得る. よって,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-2=2$
$(x+y+2)(3x+2y-1)=2$
である. この右辺の $2$ は素数であるので,
$x+y+2=1$
$3x+2y-1=2$
$x+y+2=2$
$3x+2y-1=1$
$x+y+2=-1$
$3x+2y-1=-2$
$x+y+2=-2$
$3x+2y-1=-1$
の $4$ パターンがあり得る.
これらそれぞれを解くと,
$(x, y)=(5, -6)$, $(2, -2)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
であるので, $y$ の値が大きい順に並べると
$(x, y)=(2, -2)$, $(5, -6)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
である.
最初に au の携帯電話から、 MNP 予約番号受付窓口の 0077-75470 に電話をかけて、予約番号を発行してもらう・・・のですが、全然つながらない・・・
新型コロナの関係でショップの窓口での受付を減らして、コールセンターへの出勤も減らしているからか、非常に繋がりにくい状況になっていました。電話をかけて、１０分を超えても繋がらない・・・
そんな状態で、問題が発生しました。前回も書いた通り、使っているガラケーは１０年以上前に発売された、 CA004 です。当然もう、バッテリーは限界になっています。そんな状態で、 Bluetooth でヘッドセットを繋いで（保留中に流れる）音楽を聞いていたら、そりゃあバッテリーも切れますよ。
そんなわけで、急遽枕元から電源コードを持ってきて繋いだ・・・のだが、もう既に手遅れ、電源が落ちていました。保留状態で、２０分くらい待ってたのに・・・
改めて電源を入れてからもう一度電話をする。結局、３０分待ってようやく電話が繋がりました。で、本人確認をしてから、 MNP 予約番号発行の担当に繋いぐ為に・・・また、保留音楽が・・・
まあ、今度は５分くらいで繋がりました。で、発行された 10 桁の予約番号を電話越しに聞いて、それをメモする。聞き間違えて、１回書き直す。そんな苦労をしたのに・・・電話の後で届いた C メールに、全部しっかりと書いてあったんですが・・・
そんな苦労（？）も乗り越えて、 Rakuten UN-LIMIT の申し込みも無事に完了しました。ということで、（詳しく分かりませんが）数時間なのか数日なのか、 au （090 から始まる方）の番号が繋がらなくなりますが・・・気にしないでください。
今回は不定方程式の別パターンの問題。ノーヒントで、しかも初見でこれを解けるかといえば恐らく無理なので、穴埋めにして、たいぶ丁寧な誘導をつけての出題。
不定方程式 $3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める.
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4$ を因数分解しようとしても, 上手くいかない. そこで, 定数項を調整して, 因数分解することを考える.
(1) $3x^2+5xy+2y^2=(x+y)([ア]x+[イ]y)$ である.
これより, 因数分解をした結果が $(x+y+m)([ア]x+[イ]y+n)$ であるとすると, 展開式の $x$, $y$ の係数より, 連立方程式
$\begin{cases}
[ア]m+n=[ウ] \\
[イ]m+n=[エ]
\end{cases}$
が成り立つ. これを解いて $m$, $n$ の値を求めることで,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])-[キ]$
である.
(2) (1) より, 与えられた不定方程式は
$(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])=[キ]$
である. $[キ]$ は素数であるので,
$x+y+[オ]=1$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=[キ]$
$x+y+[オ]=[キ]$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=1$
$x+y+[オ]=-1$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=-[キ]$
$x+y+[オ]=-[キ]$
$[ア]x+[イ]y-[カ]=-1$
の $4$ パターンが考えられる. それぞれを解いて, $4$ 組の解が得られ, $y$ の値が大きい順に並べると,
$(x, y)=([ク], [ケコ]), ([サ], [シス]), ([セ], [ソタ]), ([チ], [ツテト])$
である.
（何故かシステムの都合上, $4$ パターンの連立方程式がちゃんと表記できなくなったので, $2$ 本の式を並べただけになっている）
因数分解は特に問題ないと思う.
$3x^2+5xy+2y^2 = (x+y)(3x+2y)$
これより,
$(x+y+m)(3x+2y+n) = 3x^2+5xy+2y^2+(3m+n)x+(2m+n)y+mn$
であるので, $x$, $y$ の係数より連立方程式
$3m+n=5$
$2m+n=3$
た成り立つ. これを解いて, $m=2$, $n=-1$ を得る. よって,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-2=2$
$(x+y+2)(3x+2y-1)=2$
である. この右辺の $2$ は素数であるので,
$x+y+2=1$
$3x+2y-1=2$
$x+y+2=2$
$3x+2y-1=1$
$x+y+2=-1$
$3x+2y-1=-2$
$x+y+2=-2$
$3x+2y-1=-1$
の $4$ パターンがあり得る.
これらそれぞれを解くと,
$(x, y)=(5, -6)$, $(2, -2)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
であるので, $y$ の値が大きい順に並べると
$(x, y)=(2, -2)$, $(5, -6)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.05）
先週、 iPhone SE(2020) を注文しました。
またぁ、直ぐにそんな新しいモノを買ってる・・・
なんて思われそうですが、そもそも iPhone の新品を買うのは初めてです。
約 4 年前、リーフを購入した際に、NissanConnect EVアプリを使うためにはスマホが必要になりました。でも、当時使っていたのは、２台ともガラケーでした。
で、どっちかをスマホにしようかと思ったのですが・・当時使っていた au にしても Y!mobile にしっても、スマホにすると月額料金がとっても高くなってしまう。そんなわけで、色々と調べたり、周囲に相談した結果、 mineo にしてみるのが良さそう、って事で・・・
ガラケー２台はそのまま保持し、 mineo のデータ専用プランで、 iPhone を使おう、と。
そんなわけで、次に iPhone 探しを。目的とするアプリは前述の EV アプリのみなので、まあ何でもいいや、という考えが基準ですので・・・オフハウスで、 iPhone5c を購入しました。mineo の SIM が届いてから、設定は自分でしなくてはなりませんでしたが、それでも問題なく使っていました。
それから１年半後、困ったことが起こりました。
NPO の活動で埼玉県に行く前日に、 iPhone が SIM カードを認識しなくなりました。行った先で、 LINE や Facebook などの連絡手段が使えない、という困った事態に。そんなわけで、仕方ないので帰ってきてからオフハウス巡りを。３軒廻ったところで、 iPhone 6 を発見、購入。 SIM カードを挿し替えて、無事に復活しました。因みに、 LINE 等の引き継ぎも、端末事態が壊れたわけではなかったので、無事に出来ました。
そんな中古で購入した 2 台目の iPhone も、使い始めて 2 年 3 ヶ月を越えました。まあ、まだまだ問題なく使えているのですが、何で iPhone を新しく購入したのかと言うと・・・
au のガラケーが、そろそろ限界を迎えそうで・・・
今使っている au のガラケーは、 2009 年発売の CA004 です。つまり、もう使い始めて 10 年を超えているのです。ここ 1 年くらいはバッテリーの持ちが悪くなってきたのですが、最近はそれ以上に気になるのが、気がついたら起動画面になっている・・・
で、機種変を考えて何度か au ショップに行ったのですが、どの機種に変更しても、月額料金が 5,000 円超えになってしまうという・・・
ところが、 iPhone SE(2020) が発売されることになり、端末料金が格安に。これなら、あまりお金をかけずに機種変出来るのではないか、ということで・・・
で、色々と調べたりしてみました。前提として、 au で使っている番号をそのまま使い続けます。
プラン 1
au で iPhone SE に機種変をする。現在、ガラケーを使っていることもあり、 2022 年に 3G の電波が停波してしまうので、機種変を促すための割引もある。だが、それにしても機種変後の月額料金が高い・・・
プラン 2
たまに家電量販店でやっている、ガラケーからの MNP での割引キャンペーンを利用する。と言っても、何もやっていないときだったので、これは無理でした。
そんなとき、新しい条件が追加されました。そう、 Rakuten UN-LIMIT です。もちろん、田舎に住んでいるので、楽天回線なんて縁もありませんが、それでも au の回線を 1 Mbps で使い放題というのは美味しいですよね。しかも、 300 万名対象で、 1 年間無料になる、ということ。 MNP で、楽天に乗り換えちゃいましょう。
プラン 3
au で iPhone SE に機種変し、 SIM ロック解除し、楽天に MNP をする。次のプラン 4 と比較してもこれがだいぶ安く済みそうだったのですが、問題が 1 つありまして・・・ au ショップで聞いたら、端末が取り寄せで、どれくらいかかるかも分からない、と。
プラン 4
もう仕方ないので SIM フリーの iPhone SE を購入し、ガラケーの番号を MNP して楽天の SIM を iPhone SE で使う。
そんなわけで、困ったときの Yodobashi さんで、 SIM フリー版を購入しました。お金が心配だったので、全額をポイントで支払いましたが。
今回も授業で出題した、週末課題 No.05 の解説。ユークリッドの互除法を使う問題ですが、本質をちゃんと理解しているのかを問う問題。
次の問に答えよ.
(1) $4403$ と $5291$ の最大公約数を求めよ.
(2) $n$ を自然数とする. $n^3+n^2+3$ と $n^2-1$ の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ.
(3) $a$, $b$ を互いに素な整数とする. このとき, $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ が既約分数であることを示せ.
(1) は普通にユークリッドの互除法を使う問題.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 4 + 851$
$888 = 851 \times 1 + 37$
$851 = 37 \times 23$
より, 最大公約数は $37$.
特に必要ではないが, 週末課題 No.04 の解説でも書いた通り, 余りをマイナスまで含めて半分の範囲で抑える, 高速ユークリッドの互除法を使うこともできる.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 5 - 37$
$888 = 37 \times 24$
より, 最大公約数は $37$.
(2) の前に, ユークリッドの互除法とは何をしているのかを復習する.
Theorem.1
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)=\gcd(b, b-a)$ が成り立つ.
(Proof)
$\gcd(a, b)=d_1$ とすると, 互いに素な整数 $a_1$, $b_1$ が存在し,
$a=a_1d_1$, $b=b_1d_1$
と表すことができる. これより,
$b-a = b_1d_1-a_1d_1 = d_1(b_1-a_1)$
が成り立つ. $b_1-a_1$ は整数なので, $\gcd(b, b-a)$ は $d_1$ の倍数である.
$\gcd(b, b-a)=d_2$ とすると, 互いに素な整数 $a_2$, $b_2$ が存在し,
$b=b_2d_2$, $b-a=a_2d_2$
と表すことができる. これより,
$a = b-(b-a) = b_2d_2-a_2d_2 = d_2(b_2-a_2)$
が成り立つ. $b_2-a_2$ は整数なので, $\gcd(a, b)$ は $d_2$ の倍数である.
以上より, $\gcd(a, b)$ と $\gcd(b, b-a)$ は互いに倍数になっているので, 等しい${}_{\square}$
この Theorem.1 から即座に得られるものとして, 次の Corollary がある.
Corollary.2
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $a$ を $b$ で割ったときの商を $q$, 余りを $r$ ($0\le r<b$) とすると, $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つ.
(Proof)
定義より $\gcd(x, y)=\gcd(y, x)$, $\gcd(x, y)=\gcd(x, -y)$ であることは明らかであろう. これと Theorem.1 より,
$\gcd(x, y)=\gcd(y, x)=\gcd(x, x-y)=\gcd(x, y-x)$
が成り立つ. これを繰り返し用いることで,
$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
$=\gcd(b, a-b)$
$=\gcd(b, a-2b)$
$=\cdots$
$=\gcd(b, a-bq)$
$=\gcd(b, r)$
より成り立つ${}_{\square}$
この Corollary.2 を繰り返し用いて,
$\gcd(5291, 4403) = \gcd(4403, 888) = \gcd(888, 851) = \gcd(851, 37)$
であり, $852$ は $37$ の倍数なので $\gcd(851, 37)=37$ であることが分かる. よって, $\gcd(5291, 4403)=37$ である.
というのが (1) の解答であり, このようにして最大公約数を求める algorithm が, ユークリッドの互除法である.
で, ようやく (2) の解説に.
$n^3+n^2+3 = (n^2-1)(n+1)+(n+4)$
$n^2-1 = (n+4)(n-4)+15$
であるので, 最大公約数は $15$... ではない.
前述の通り, Corollary.2 を用いることで, この計算で分かったことは
$\gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n+4, 15)$
である, ということ.
$n+4$ と $15$ の最大公約数, ということは, $15$ の約数なので, $1$, $3$, $5$, $15$ の $4$ つである... というのも, 答えは合っているが, 解答としては不十分.
ここまでの議論では, 必要条件を求めただけで, 十分条件は分かっていない.
必要条件・十分条件とか出てくると, もうわけが分からなくなる人も多いが,
この計算から分かったことは, 最大公約数は $15$ の約数である必要がある, ということ.
例えば, $\gcd(3n-1, 15)$ となった場合, この最大公約数はいくつか.
$15$ の約数である必要があるが, 前述の $4$ つすべてがなるかというと, そうではない.
$
\begin{array}{c|c|c}
n & 3n-1 & \gcd(3n-1, 15) \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 8 & 1 \\
4 & 11 & 1 \\
5 & 14 & 1
\end{array}
$
より, 最大公約数として取りうる値は $1$, $5$ である.
というように, 候補の値がすべて最大公約数になるかを確認する, 即ち十分であるかを確認する必要がある.
実際, $n=3$, $2$, $1$, $11$ のとき,
$\gcd(n+4, 15) = 1$, $3$, $5$, $15$
であるので, 最大公約数として考えられる数は $1$, $3$, $5$, $15$ である.
まあ, $n$ の係数が $1$ であることを指摘すれば, 具体的に考える必要もないのだが...
ちなみに, 数学 IA までしかやってないので整式の割り算が分からない, という場合でも,
Corollary.2 ではなく Theorem.1 を用いることで同様の結果を得ることができる.
$(n^3+n^2+3)-n(n^2-1)=n^2+n+3$
$\Longrightarrow \gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n^2+n+3)$
$(n^2+n+3)-(n^2-1)=n+4$
$\Longrightarrow \gcd(n^2+n+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n+4)$
$(n^2-1)-n(n+4)=-4n-1$
$\Longrightarrow \gcd(n^2-1, n+4) = \gcd(n+4, -4n-1)$
$(-4n-1)+4(n+4)=15$
$\Longrightarrow \gcd(-4n-1, n+4) = \gcd(n+4, 15)$
(3) 「既約分数である $\iff$ 分子と分母の最大公約数が $1$」
であることが分かっているかどうかの問題でしょう.
あとは, (2) でも用いた内容になりますね.
今回は Corollary.2 というよりは Theorem.1 の方が分かりやすいかも知れません.
(Proof)
$\gcd(4a+9b, 3a+7b)=\gcd(3a+7b, a+2b)=\gcd(a+2b, b)=\gcd(b, a)$
であり, 仮定より
$\gcd(a, b)=1$
であるので $\gcd(4a+9b, 3a+7b)=1$, 即ち $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ は既約分数である${}_{\square}$
またぁ、直ぐにそんな新しいモノを買ってる・・・
なんて思われそうですが、そもそも iPhone の新品を買うのは初めてです。
約 4 年前、リーフを購入した際に、NissanConnect EVアプリを使うためにはスマホが必要になりました。でも、当時使っていたのは、２台ともガラケーでした。
で、どっちかをスマホにしようかと思ったのですが・・当時使っていた au にしても Y!mobile にしっても、スマホにすると月額料金がとっても高くなってしまう。そんなわけで、色々と調べたり、周囲に相談した結果、 mineo にしてみるのが良さそう、って事で・・・
ガラケー２台はそのまま保持し、 mineo のデータ専用プランで、 iPhone を使おう、と。
そんなわけで、次に iPhone 探しを。目的とするアプリは前述の EV アプリのみなので、まあ何でもいいや、という考えが基準ですので・・・オフハウスで、 iPhone5c を購入しました。mineo の SIM が届いてから、設定は自分でしなくてはなりませんでしたが、それでも問題なく使っていました。
それから１年半後、困ったことが起こりました。
NPO の活動で埼玉県に行く前日に、 iPhone が SIM カードを認識しなくなりました。行った先で、 LINE や Facebook などの連絡手段が使えない、という困った事態に。そんなわけで、仕方ないので帰ってきてからオフハウス巡りを。３軒廻ったところで、 iPhone 6 を発見、購入。 SIM カードを挿し替えて、無事に復活しました。因みに、 LINE 等の引き継ぎも、端末事態が壊れたわけではなかったので、無事に出来ました。
そんな中古で購入した 2 台目の iPhone も、使い始めて 2 年 3 ヶ月を越えました。まあ、まだまだ問題なく使えているのですが、何で iPhone を新しく購入したのかと言うと・・・
au のガラケーが、そろそろ限界を迎えそうで・・・
今使っている au のガラケーは、 2009 年発売の CA004 です。つまり、もう使い始めて 10 年を超えているのです。ここ 1 年くらいはバッテリーの持ちが悪くなってきたのですが、最近はそれ以上に気になるのが、気がついたら起動画面になっている・・・
で、機種変を考えて何度か au ショップに行ったのですが、どの機種に変更しても、月額料金が 5,000 円超えになってしまうという・・・
ところが、 iPhone SE(2020) が発売されることになり、端末料金が格安に。これなら、あまりお金をかけずに機種変出来るのではないか、ということで・・・
で、色々と調べたりしてみました。前提として、 au で使っている番号をそのまま使い続けます。
プラン 1
au で iPhone SE に機種変をする。現在、ガラケーを使っていることもあり、 2022 年に 3G の電波が停波してしまうので、機種変を促すための割引もある。だが、それにしても機種変後の月額料金が高い・・・
プラン 2
たまに家電量販店でやっている、ガラケーからの MNP での割引キャンペーンを利用する。と言っても、何もやっていないときだったので、これは無理でした。
そんなとき、新しい条件が追加されました。そう、 Rakuten UN-LIMIT です。もちろん、田舎に住んでいるので、楽天回線なんて縁もありませんが、それでも au の回線を 1 Mbps で使い放題というのは美味しいですよね。しかも、 300 万名対象で、 1 年間無料になる、ということ。 MNP で、楽天に乗り換えちゃいましょう。
プラン 3
au で iPhone SE に機種変し、 SIM ロック解除し、楽天に MNP をする。次のプラン 4 と比較してもこれがだいぶ安く済みそうだったのですが、問題が 1 つありまして・・・ au ショップで聞いたら、端末が取り寄せで、どれくらいかかるかも分からない、と。
プラン 4
もう仕方ないので SIM フリーの iPhone SE を購入し、ガラケーの番号を MNP して楽天の SIM を iPhone SE で使う。
そんなわけで、困ったときの Yodobashi さんで、 SIM フリー版を購入しました。お金が心配だったので、全額をポイントで支払いましたが。
今回も授業で出題した、週末課題 No.05 の解説。ユークリッドの互除法を使う問題ですが、本質をちゃんと理解しているのかを問う問題。
次の問に答えよ.
(1) $4403$ と $5291$ の最大公約数を求めよ.
(2) $n$ を自然数とする. $n^3+n^2+3$ と $n^2-1$ の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ.
(3) $a$, $b$ を互いに素な整数とする. このとき, $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ が既約分数であることを示せ.
(1) は普通にユークリッドの互除法を使う問題.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 4 + 851$
$888 = 851 \times 1 + 37$
$851 = 37 \times 23$
より, 最大公約数は $37$.
特に必要ではないが, 週末課題 No.04 の解説でも書いた通り, 余りをマイナスまで含めて半分の範囲で抑える, 高速ユークリッドの互除法を使うこともできる.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 5 - 37$
$888 = 37 \times 24$
より, 最大公約数は $37$.
(2) の前に, ユークリッドの互除法とは何をしているのかを復習する.
Theorem.1
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)=\gcd(b, b-a)$ が成り立つ.
(Proof)
$\gcd(a, b)=d_1$ とすると, 互いに素な整数 $a_1$, $b_1$ が存在し,
$a=a_1d_1$, $b=b_1d_1$
と表すことができる. これより,
$b-a = b_1d_1-a_1d_1 = d_1(b_1-a_1)$
が成り立つ. $b_1-a_1$ は整数なので, $\gcd(b, b-a)$ は $d_1$ の倍数である.
$\gcd(b, b-a)=d_2$ とすると, 互いに素な整数 $a_2$, $b_2$ が存在し,
$b=b_2d_2$, $b-a=a_2d_2$
と表すことができる. これより,
$a = b-(b-a) = b_2d_2-a_2d_2 = d_2(b_2-a_2)$
が成り立つ. $b_2-a_2$ は整数なので, $\gcd(a, b)$ は $d_2$ の倍数である.
以上より, $\gcd(a, b)$ と $\gcd(b, b-a)$ は互いに倍数になっているので, 等しい${}_{\square}$
この Theorem.1 から即座に得られるものとして, 次の Corollary がある.
Corollary.2
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $a$ を $b$ で割ったときの商を $q$, 余りを $r$ ($0\le r<b$) とすると, $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つ.
(Proof)
定義より $\gcd(x, y)=\gcd(y, x)$, $\gcd(x, y)=\gcd(x, -y)$ であることは明らかであろう. これと Theorem.1 より,
$\gcd(x, y)=\gcd(y, x)=\gcd(x, x-y)=\gcd(x, y-x)$
が成り立つ. これを繰り返し用いることで,
$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
$=\gcd(b, a-b)$
$=\gcd(b, a-2b)$
$=\cdots$
$=\gcd(b, a-bq)$
$=\gcd(b, r)$
より成り立つ${}_{\square}$
この Corollary.2 を繰り返し用いて,
$\gcd(5291, 4403) = \gcd(4403, 888) = \gcd(888, 851) = \gcd(851, 37)$
であり, $852$ は $37$ の倍数なので $\gcd(851, 37)=37$ であることが分かる. よって, $\gcd(5291, 4403)=37$ である.
というのが (1) の解答であり, このようにして最大公約数を求める algorithm が, ユークリッドの互除法である.
で, ようやく (2) の解説に.
$n^3+n^2+3 = (n^2-1)(n+1)+(n+4)$
$n^2-1 = (n+4)(n-4)+15$
であるので, 最大公約数は $15$... ではない.
前述の通り, Corollary.2 を用いることで, この計算で分かったことは
$\gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n+4, 15)$
である, ということ.
$n+4$ と $15$ の最大公約数, ということは, $15$ の約数なので, $1$, $3$, $5$, $15$ の $4$ つである... というのも, 答えは合っているが, 解答としては不十分.
ここまでの議論では, 必要条件を求めただけで, 十分条件は分かっていない.
必要条件・十分条件とか出てくると, もうわけが分からなくなる人も多いが,
この計算から分かったことは, 最大公約数は $15$ の約数である必要がある, ということ.
例えば, $\gcd(3n-1, 15)$ となった場合, この最大公約数はいくつか.
$15$ の約数である必要があるが, 前述の $4$ つすべてがなるかというと, そうではない.
$
\begin{array}{c|c|c}
n & 3n-1 & \gcd(3n-1, 15) \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 8 & 1 \\
4 & 11 & 1 \\
5 & 14 & 1
\end{array}
$
より, 最大公約数として取りうる値は $1$, $5$ である.
というように, 候補の値がすべて最大公約数になるかを確認する, 即ち十分であるかを確認する必要がある.
実際, $n=3$, $2$, $1$, $11$ のとき,
$\gcd(n+4, 15) = 1$, $3$, $5$, $15$
であるので, 最大公約数として考えられる数は $1$, $3$, $5$, $15$ である.
まあ, $n$ の係数が $1$ であることを指摘すれば, 具体的に考える必要もないのだが...
ちなみに, 数学 IA までしかやってないので整式の割り算が分からない, という場合でも,
Corollary.2 ではなく Theorem.1 を用いることで同様の結果を得ることができる.
$(n^3+n^2+3)-n(n^2-1)=n^2+n+3$
$\Longrightarrow \gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n^2+n+3)$
$(n^2+n+3)-(n^2-1)=n+4$
$\Longrightarrow \gcd(n^2+n+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n+4)$
$(n^2-1)-n(n+4)=-4n-1$
$\Longrightarrow \gcd(n^2-1, n+4) = \gcd(n+4, -4n-1)$
$(-4n-1)+4(n+4)=15$
$\Longrightarrow \gcd(-4n-1, n+4) = \gcd(n+4, 15)$
(3) 「既約分数である $\iff$ 分子と分母の最大公約数が $1$」
であることが分かっているかどうかの問題でしょう.
あとは, (2) でも用いた内容になりますね.
今回は Corollary.2 というよりは Theorem.1 の方が分かりやすいかも知れません.
(Proof)
$\gcd(4a+9b, 3a+7b)=\gcd(3a+7b, a+2b)=\gcd(a+2b, b)=\gcd(b, a)$
であり, 仮定より
$\gcd(a, b)=1$
であるので $\gcd(4a+9b, 3a+7b)=1$, 即ち $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ は既約分数である${}_{\square}$
授業で出題した問題（平日課題 No.04）
今週あった学年別の登校日が無事に終わり、来週からは授業が行われることに。とはいえ、世間で流行っている分散登校なので、授業がない日もあるんですよね。
授業準備も対して進んでないのに、授業までの課題を更に出したり、休み明けに配布をするスタディサプリのテキストをクラス分の仕分けをしたり、なんだかんだで昨日の金曜日が、１週間で一番しんどかった・・・
そして再び週末。
外出自粛のため、引き篭もっているこの土日。
引き籠もって何をしているのかと言うと・・・
最近、YouTube で RTA 動画を見ています。大学生とか大学院生のときには TAS 動画にはまっていたのですが、最近は人間が実際に挑戦している RTA を見ています。
ちなみに、TAS とか RTA とか、何のことか分からない人もいると思いますが、TAS とは Tool-Assisted Speedrun の略で、ゲームのエミュレータのコマ送りプレイとかどこでもセーブとかを駆使して、どれだけ早くエンディング画面までたどり着けるかを競う競技です。
それに対して RTA とは、Real Time Attack の事で、（録画環境等の関係でエミュレータを使うが）人間が実際にプレイをしてエンディングを目指すという競技です。
私が最初に TAS と出会ったのは、たぶんこの動画。
2013/11/20 更新 Playtime:11:03.95
そこから進歩していき、現在の世界記録はこっち。
2019/03/16 更新 Playtime:10:24.34
別部門として、笛なしの最速もあります。
2015/12/21 更新 Playtime:46:20:3
そして、それ以上に感動したのが、Super Mario 64 の TAS 動画。
2005/11/21 更新 Playtime:16:26.77
今では RTA の方が早い方法を使っているような、古典的な手法が満載の TAS です。
それから、 SideBLJ が発見され、 16 Star から 1 Star に更新されたのがコレ。
2007/08/10 更新 Playtime:06:47.27
そして、更には 0 Star でクリアし始めて・・・
2007/12/07 更新 Playtime:05:47.37
今では、最初のクッパステージまでも飛ばし、更には BLJ で速度を上げすぎてしまい、
画面に映らないような速度で移動してしまうという・・・
2016/11/24 更新 Playtime:04:21.3
それとは別部門で、 120 Stars もありますが、こっちはなかなか更新されませんが・・・
2012/12/13 更新 Playtime:1:20:41.52
あとは、やはり SFC の同発ソフトとしてお馴染みの Super MARIO World でしょう。
2004/06/20 更新 Playtime:11:05.7
ここからバグ技が多数発見され、通称 wing に Bosskill、Orb と、バグだらけのヨースター島攻略・・・
2020/03/26 更新 Playtime:09:54.35
エンディングを見れればなんでもいい、って事で、究極にはヨッシーの挙動を利用して、メモリ操作をして突然のエンディング画面にしてしまう・・・
2019/07/04 更新 Playtime:00:41.68
もう、完全に無理やり変な編集をした動画にしか見えない・・・
一応、96 exits もあります。
2013/02/07 更新 Playtime:1:194:37.63
ちょっと、 TAS 動画だけでもういっぱいなので、 RTA 動画は次の機会に。
（忘れてなければ、の話なのですが・・・）
今日の問題は、またもや授業で出題した問題。
平日課題 No.04 は、前回（平日課題 No.03）の続き、というかもう１問追加した三角形の面積の公式。三角比を使えばあっという間に出来るので、三角比の復習のために。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
である.
(Proof)
三角形の内角の和より
$A+B+C=180^\circ$
$B+C=180^\circ-A$
であるので,
$\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin A$
である.
また, 正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
であるので,
$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}$
である.
以上より,
$S=\dfrac12bc\sin A$
$= \dfrac12 \times \dfrac{a\sin B}{\sin A} \times \dfrac{a\sin C}{\sin A} \times \sin A$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
より成り立つ${}_{\square}$
授業準備も対して進んでないのに、授業までの課題を更に出したり、休み明けに配布をするスタディサプリのテキストをクラス分の仕分けをしたり、なんだかんだで昨日の金曜日が、１週間で一番しんどかった・・・
そして再び週末。
外出自粛のため、引き篭もっているこの土日。
引き籠もって何をしているのかと言うと・・・
最近、YouTube で RTA 動画を見ています。大学生とか大学院生のときには TAS 動画にはまっていたのですが、最近は人間が実際に挑戦している RTA を見ています。
ちなみに、TAS とか RTA とか、何のことか分からない人もいると思いますが、TAS とは Tool-Assisted Speedrun の略で、ゲームのエミュレータのコマ送りプレイとかどこでもセーブとかを駆使して、どれだけ早くエンディング画面までたどり着けるかを競う競技です。
それに対して RTA とは、Real Time Attack の事で、（録画環境等の関係でエミュレータを使うが）人間が実際にプレイをしてエンディングを目指すという競技です。
私が最初に TAS と出会ったのは、たぶんこの動画。
2013/11/20 更新 Playtime:11:03.95
そこから進歩していき、現在の世界記録はこっち。
2019/03/16 更新 Playtime:10:24.34
別部門として、笛なしの最速もあります。
2015/12/21 更新 Playtime:46:20:3
そして、それ以上に感動したのが、Super Mario 64 の TAS 動画。
2005/11/21 更新 Playtime:16:26.77
今では RTA の方が早い方法を使っているような、古典的な手法が満載の TAS です。
それから、 SideBLJ が発見され、 16 Star から 1 Star に更新されたのがコレ。
2007/08/10 更新 Playtime:06:47.27
そして、更には 0 Star でクリアし始めて・・・
2007/12/07 更新 Playtime:05:47.37
今では、最初のクッパステージまでも飛ばし、更には BLJ で速度を上げすぎてしまい、
画面に映らないような速度で移動してしまうという・・・
2016/11/24 更新 Playtime:04:21.3
それとは別部門で、 120 Stars もありますが、こっちはなかなか更新されませんが・・・
2012/12/13 更新 Playtime:1:20:41.52
あとは、やはり SFC の同発ソフトとしてお馴染みの Super MARIO World でしょう。
2004/06/20 更新 Playtime:11:05.7
ここからバグ技が多数発見され、通称 wing に Bosskill、Orb と、バグだらけのヨースター島攻略・・・
2020/03/26 更新 Playtime:09:54.35
エンディングを見れればなんでもいい、って事で、究極にはヨッシーの挙動を利用して、メモリ操作をして突然のエンディング画面にしてしまう・・・
2019/07/04 更新 Playtime:00:41.68
もう、完全に無理やり変な編集をした動画にしか見えない・・・
一応、96 exits もあります。
2013/02/07 更新 Playtime:1:194:37.63
ちょっと、 TAS 動画だけでもういっぱいなので、 RTA 動画は次の機会に。
（忘れてなければ、の話なのですが・・・）
今日の問題は、またもや授業で出題した問題。
平日課題 No.04 は、前回（平日課題 No.03）の続き、というかもう１問追加した三角形の面積の公式。三角比を使えばあっという間に出来るので、三角比の復習のために。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
である.
(Proof)
三角形の内角の和より
$A+B+C=180^\circ$
$B+C=180^\circ-A$
であるので,
$\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin A$
である.
また, 正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
であるので,
$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}$
である.
以上より,
$S=\dfrac12bc\sin A$
$= \dfrac12 \times \dfrac{a\sin B}{\sin A} \times \dfrac{a\sin C}{\sin A} \times \sin A$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$
$= \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}$
より成り立つ${}_{\square}$
授業で出題した問題（週末課題 No.04）
大学への数学、毎月買って読んでるのですが、この休校・在宅勤務期間が続いていたので、２０２０年０５月号を買い忘れていました。
そんな事に気がついたのが一昨日だったので、即座にヨドバシさんで購入・・・
しようとしたのですが、何故か販売休止に・・・
仕方なく、困ったときの amazon さんで購入しようとしたら、２２００円という意味不明なプレミアがついていました・・・
って事で、図書室に出入りしている本屋さんに取り寄せを頼みました。まあ、特段急ぐものでもないのでいいのですが・・・
何故、ヨドバシさんでは販売休止になっていたのでしょうか？？
休校期間が続いていて、勉強出来ない高校生が買って・・・って事も無さそうだけど・・・
今日は、授業で出題した課題の解説。
不定方程式の問題。我々の様に、高校生のときに整数がなかった世代では、好き嫌いが分かれるところですが、私は専門が代数的組合せ論（代数的符号理論）だったので、整数の内容は大好物です。
ということで, 週末課題 No.04 の解説を.
(1) 不定方程式 $23x+41y=0$ の整数解をすべて求めよ.
(2) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解を $1$ 組求めよ.
(3) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解をすべて求めよ.
(1)
$23x+41y=0$
$23x=-41y$
ここで, $23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=41k$, $y=-23k$ と表すことができる.
で終わりなのだが, 結構これをちゃんと理解していない人も多い.
そこで, これをちゃんと説明していくと...
$23x=-41y$ となったところから...
$x$, $y$ は整数なので, 左辺は $23$ の倍数, 右辺は $41$ の倍数, ということになる.
左辺が $23$ の倍数, 右辺が $41$ の倍数で, それらが等しい, ということは,
この値は $23$ の倍数かつ $41$ の倍数なので, $23 \times 41$ の倍数...
ではないですよね.
$23$ の倍数かつ $41$ の倍数, って事は, $23$ と $41$ の公倍数, って事です.
$23$ と $41$ の公倍数, って事は, $23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事です.
で, 結構重要な性質として...
$2$ つの自然数 $a$, $b$ に対し,
$\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = ab$
が成り立つ.
を使ってやると,
$\gcd(23, 41) \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$1 \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$\mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
であるので...
$23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事は, $23\times41$ の倍数, って事です.
なので, 整数 $k$ を用いて
$23x=-41y=23 \times 41 \times k$
と表すことができ, これより
$23x=23\times41\times k$
$x=41k$,
$-41y=23\times41\times k$
$y=-23k$
と表すことができる.
(2)
$41 = 23 \times 1 + 18$
$23 = 18 \times 1 + 5$
$18 = 5 \times 3 + 3$
$5 = 3 \times 1 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
より,
$18 = 41 - 23 \times 1$
$5 = 23 - 18 \times 1$
$3 = 18 - 5 \times 3$
$2 = 5 - 3 \times 1$
$1 = 3 - 2 \times 1$
であるので,
$1 = 3 - 2 \times 1$
$= 3 - (5 - 3 \times 1) \times 1$
$= 3 \times 2 + 5 \times (-1)$
$= (18-5 \times 3) \times 2 + 5 \times (-1)$
$= 18 \times 2 + 5 \times (-7)$
$= 18 \times 2 + (23 - 18 \times 1) \times (-7)$
$= 18 \times 9 + 23 \times (-7)$
$= (41 - 23 \times 1) \times 9 + 23 \times (-7)$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
$= 23 \times (-16) + 41 \times 9$
というのが, よくある一般的な解法なのだが...
ユークリッドの互除法よりも計算回数を減らせるかも知れない, 高速ユークリッドの互除法を用いる.
ユークリッドの互除法では, 割り算 $a=bq+r$ の
余りの範囲を $0 \le q < r$ としているが,
これを $-\dfrac{r}{2}<r\le\dfrac{r}{2}$ として計算すると,
ユークリッドの互除法よりも計算回数が増えることはない.
（必ず減るとは言えない, 減ることもある, 程度だが非常に有用）
$41 = 23 \times 2 - 5$
$23 = 5 \times 5 - 2$
$5 = 2 \times 2 + 1$
より,
$5 = 23 \times 2 - 41$
$2 = 5 \times 5 - 23$
$1 = 5 - 2 \times 2$
であるので,
$1 = 5 - 2 \times 2$
$= 5 - (5 \times 5- 23) \times 2$
$= 5 \times (-9) + 23 \times 2$
$= (23 \times 2 - 41) \times (-9) + 23 \times 2$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
これも, 最初の $2$ 式が異なったり,
式同士の計算の手順が異なったりすると,
異なる特殊解を得ることがある.
(3)
(2) で求めた特殊解が $(x, y)=(-16, 9)$ であるとする.
(他の特殊解だったとしても解法は同様)
$23x+41y=1$ から特殊解を代入した $23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$ を引くと,
$23(x+16)+41(y-9)=0$
$23(x+16)=-41(y-9)$
あとは (1) と同様に,
$23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x+16=41k$, $y-9=-23k$
即ち
$x=41k-16$, $y=-23k+9$
を得る.
そんな事に気がついたのが一昨日だったので、即座にヨドバシさんで購入・・・
しようとしたのですが、何故か販売休止に・・・
仕方なく、困ったときの amazon さんで購入しようとしたら、２２００円という意味不明なプレミアがついていました・・・
って事で、図書室に出入りしている本屋さんに取り寄せを頼みました。まあ、特段急ぐものでもないのでいいのですが・・・
何故、ヨドバシさんでは販売休止になっていたのでしょうか？？
休校期間が続いていて、勉強出来ない高校生が買って・・・って事も無さそうだけど・・・
今日は、授業で出題した課題の解説。
不定方程式の問題。我々の様に、高校生のときに整数がなかった世代では、好き嫌いが分かれるところですが、私は専門が代数的組合せ論（代数的符号理論）だったので、整数の内容は大好物です。
ということで, 週末課題 No.04 の解説を.
(1) 不定方程式 $23x+41y=0$ の整数解をすべて求めよ.
(2) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解を $1$ 組求めよ.
(3) 不定方程式 $23x+41y=1$ の整数解をすべて求めよ.
(1)
$23x+41y=0$
$23x=-41y$
ここで, $23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=41k$, $y=-23k$ と表すことができる.
で終わりなのだが, 結構これをちゃんと理解していない人も多い.
そこで, これをちゃんと説明していくと...
$23x=-41y$ となったところから...
$x$, $y$ は整数なので, 左辺は $23$ の倍数, 右辺は $41$ の倍数, ということになる.
左辺が $23$ の倍数, 右辺が $41$ の倍数で, それらが等しい, ということは,
この値は $23$ の倍数かつ $41$ の倍数なので, $23 \times 41$ の倍数...
ではないですよね.
$23$ の倍数かつ $41$ の倍数, って事は, $23$ と $41$ の公倍数, って事です.
$23$ と $41$ の公倍数, って事は, $23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事です.
で, 結構重要な性質として...
$2$ つの自然数 $a$, $b$ に対し,
$\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = ab$
が成り立つ.
を使ってやると,
$\gcd(23, 41) \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$1 \times \mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
$\mathrm{lcm}(23, 41) = 23 \times 41$
であるので...
$23$ と $41$ の最小公倍数の倍数, って事は, $23\times41$ の倍数, って事です.
なので, 整数 $k$ を用いて
$23x=-41y=23 \times 41 \times k$
と表すことができ, これより
$23x=23\times41\times k$
$x=41k$,
$-41y=23\times41\times k$
$y=-23k$
と表すことができる.
(2)
$41 = 23 \times 1 + 18$
$23 = 18 \times 1 + 5$
$18 = 5 \times 3 + 3$
$5 = 3 \times 1 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
より,
$18 = 41 - 23 \times 1$
$5 = 23 - 18 \times 1$
$3 = 18 - 5 \times 3$
$2 = 5 - 3 \times 1$
$1 = 3 - 2 \times 1$
であるので,
$1 = 3 - 2 \times 1$
$= 3 - (5 - 3 \times 1) \times 1$
$= 3 \times 2 + 5 \times (-1)$
$= (18-5 \times 3) \times 2 + 5 \times (-1)$
$= 18 \times 2 + 5 \times (-7)$
$= 18 \times 2 + (23 - 18 \times 1) \times (-7)$
$= 18 \times 9 + 23 \times (-7)$
$= (41 - 23 \times 1) \times 9 + 23 \times (-7)$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
$= 23 \times (-16) + 41 \times 9$
よって, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
というのが, よくある一般的な解法なのだが...
ユークリッドの互除法よりも計算回数を減らせるかも知れない, 高速ユークリッドの互除法を用いる.
ユークリッドの互除法では, 割り算 $a=bq+r$ の
余りの範囲を $0 \le q < r$ としているが,
これを $-\dfrac{r}{2}<r\le\dfrac{r}{2}$ として計算すると,
ユークリッドの互除法よりも計算回数が増えることはない.
（必ず減るとは言えない, 減ることもある, 程度だが非常に有用）
$41 = 23 \times 2 - 5$
$23 = 5 \times 5 - 2$
$5 = 2 \times 2 + 1$
より,
$5 = 23 \times 2 - 41$
$2 = 5 \times 5 - 23$
$1 = 5 - 2 \times 2$
であるので,
$1 = 5 - 2 \times 2$
$= 5 - (5 \times 5- 23) \times 2$
$= 5 \times (-9) + 23 \times 2$
$= (23 \times 2 - 41) \times (-9) + 23 \times 2$
$= 41 \times 9 + 23 \times (-16)$
よって, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
（高速）ユークリッドの互除法を用いる解法として, 更に別解もある.
$23x+41y=1$
$23x+(23 \times 2 - 5)y = 1$
$23x+23\times2y-5y = 1$
$23(x-2y)-5y = 1$
ここで, $x-2y=x_1$ とおく.
$23x_1-5y=1$
$(5 \times 5 - 2)x_1 - 5y = 1$
$5 \times 5x_1-2x_1 - 5y = 1$
$-2x_1+5(5x_1-y) = 1$
ここで, $5x_1-y=y_1$ とおく.
$-2x_1+5y_1=1$
これくらいになると, $x_1=2$, $y_1=1$ というような特殊解が思いつく.
前述の置き換えの式より
$y=5x_1+y_1$
$x=x_1+2y$
であるので, 前述の特殊解を代入すると,
$y=5 \times 2 + 1 = 11$
$x=2+2 \times 11 = 24$
であるので, 特殊解 $(x, y)=(24, 11)$ を得る.
$x_1$, $y_1$ の特殊解が異なると, 最後に出てくる特殊解も異なる.
他にも, 適当に代入して $1$ になる値を見つけられればいいが,
$-16$ と $9$ なんて, なかなか見つけられない...
そこで, $1$ にならなくてもいいので, 互いに素な値になる $2$ 式を考える.
例えば,
$23 \times 2 + 41 \times (-1) = 5$
$23 \times (-5) + 41 \times 3 = 8$
なんていう $2$ 式を見つけたとする.
ここから, $23$ と $41$ を文字のように考え, 右辺が $1$ になるように計算をしていく.
具体的にいうと, 第 $1$ 式の $2$ 倍から第 $2$ 式を引く.
$23(2 \times 2 - (-5)) + 41 (-2-3) = 5 \times 2 - 8$
$23 \times 9 + 41 \times (-5) = 2$
第 $1$ 式からこの式の $2$ 倍を引く.
$23(2-9 \times 2) + 41(-1-2 \times (-5)) = 5 - 2 \times 2$
$23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$
これより, 特殊解 $(x, y)=(-16, 9)$ を得る.
式同士の計算の手順が異なったりすると,
異なる特殊解を得ることがある.
(3)
(2) で求めた特殊解が $(x, y)=(-16, 9)$ であるとする.
(他の特殊解だったとしても解法は同様)
$23x+41y=1$ から特殊解を代入した $23 \times (-16) + 41 \times 9 = 1$ を引くと,
$23(x+16)+41(y-9)=0$
$23(x+16)=-41(y-9)$
あとは (1) と同様に,
$23$ と $41$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x+16=41k$, $y-9=-23k$
即ち
$x=41k-16$, $y=-23k+9$
を得る.
平面幾何の点の座標
在宅勤務が続いているため、完全に生活リズムが崩れてしまっていた。大型連休を終える頃には、夜中の３時に寝て１０時過ぎに起きるような生活リズムに・・・
ですが明日、出勤となっており、火曜・水曜・木曜と学年毎の分散登校日となっています。そのため、明日にはなんとしても一般社会人の生活に戻さなくては・・・
ということで、全く関係ありませんが先日、SwitchBotを購入したのが今日、届きました。通常価格よりもだいぶ安くなっていたので、思い切ってスマートホーム化してみようかと思いまして・・・「OK, Google テレビをつけて」とか、真夏の暑い日には帰宅する前にスマホから「OK, Google 22 度で冷房をつけて」とか、色々と使い方を考えて・・・
で、早速開封して、マニュアル通りに設定していったのですが・・・
アパートの備え付けのエアコン（CORONA社製）、テレビ（東芝社製）、HDD レコーダ（東芝社製）とも、全く使えません・・・なんか、所謂「安物買いの銭失い」ってヤツでしたね・・・いや、ひょっとしたら、アプリの設定とかなのかも知れませんので、もうしばらくは試してみたいと思いますが・・・期待出来なさそうで・・・
先日, 平面幾何の問題の際にも desmos を使って図形をかいたのですが, その際に用いた点の座標についての覚書です.
今まで使っていた $\LaTeX$ では, $2$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする, 的な計算を自動でやってくれるコマンド（を含むパケージ）があるので, 非常に簡単に描画できたのですが, desmos ではそうはいきません.
だったら, 平面幾何では $\LaTeX$ でかいた画像を使えば簡単なのですが, desmos で作るといいことが $1$ つありまして...
このブログ上からでも, 点をドラッグして, 動かすことができるんですよね.
何がいいのかというと, 重心とか垂心とかの存在を, 証明ではなく, 感覚的に理解することができるのかも知れません.
まず, $3$ 点の座標を $\mathrm{A}(a_x, a_y)$, $\mathrm{B}(b_x, b_y)$, $\mathrm{C}(c_x, c_y)$ とする. また, それぞれの位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ とする.
$2$ 点間の距離より,
$a=\sqrt{(b_x-c_x)^2+(b_y-c_y)^2}$,
$b=\sqrt{(c_x-a_x)^2+(c_y-a_y)^2}$,
$c=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2}$
である.
$\triangle\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$, $\mathrm{AI}$ と $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする.
$\angle\mathrm{BAP}=\angle\mathrm{PAC}$ より,
$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mathrm{BA}:\mathrm{AC}=c:b$,
$\mathrm{AI}:\mathrm{IP}=\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=c:\dfrac{ac}{b+c}=(b+c):c$
であるので,
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{b+c}$,
$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\times\dfrac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c}=\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{a+b+c}$,
$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{a}+\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{a+b+c}
=a\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{b}+c\overrightarrow{c}$
より, 内心の座標は
$(aa_x+bb_x+cc_x, aa_y+bB_y+cc_y)$
である.
通常, 公式等を表す場合, $a$, $b$, $c$ の値は前述の式を代入して表すものであるが, desmos 上では定義された値を使うことができるので, このまま使うこととする.
以降, 内心の座標を $(I_x, I_y)$ と表す.
内接円の半径 $r$ を求める.
直線 $\mathrm{BC}$ を表す方程式は
$y-b_y=\dfrac{c_y-b_y}{c_x-b_x}(x-b_x)$
$(y-b_y)(c_x-b_x)=(x-b_x)(c_y-b_y)$
$(b_y-c_y)x+(c_x-b_x)y+(b_xc_y-c_xb_y)=0$
であるので, 点と直線の距離の公式より
$r=\dfrac{|(b_y-c_y)I_x+(c_x-b_x)I_y+(b_xc_y-c_xb_y)|}{\sqrt{(b_y-c_y)^2+(c_x-b_x)^2}}$
$=\dfrac{|(b_y-c_y)(aa_x+bb_x+cc_x)+(c_x-b_x)(aa_y+bb_y+cc_y)+(a+b+c)(b_xc_y-c_xb_y)|}{a(a+b+c)}$
$=\dfrac{|a_xb_y+b_xc_y+c_xa_y-a_xc_y-c_xb_y-b_xa_y|}{a+b+c}$
である.
ただし, desmos 使う場合は $r=$ とすると, 極座標表示と認識してしまうので, $R$ 等の別な文字にする必要うがある.
ついでに, 三角形の外心についても考えておく.
が, その前に補題を $1$ つ証明しておく.
Lemma.
$\triangle\mathrm{ABC}$ 内の点 $\mathrm{X}$ に対し,
$p\overrightarrow{\mathrm{XA}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}=\overrightarrow{0} \iff \triangle\mathrm{XBC}:\triangle\mathrm{XCA}:\triangle\mathrm{XAB}=p:q:r$
が成り立つ.
(Proof)
$\Longrightarrow$ について.
$p\overrightarrow{\mathrm{AX}}=q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}$
$p\overrightarrow{\mathrm{AX}}+q\overrightarrow{\mathrm{AX}}+r\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\overrightarrow{\mathrm{AX}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AX}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}$
$(p+q+r)\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\left(\overrightarrow{\mathrm{AX}}+\overrightarrow{\mathrm{XB}}\right)+r\left(\overrightarrow{\mathrm{AX}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}}\right)$
$(p+q+r)\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p+q+r}$
$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \dfrac{q+r}{p+q+r}\times\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}$
より, $2$ 直線 $\mathrm{AX}$, $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とすると,
$\mathrm{AX}:\mathrm{XP}=q+r:p$
である. よって,
$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{XBC}=p+q+r:p$
である.
対称性から,
$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{XCA}=p+q+r:q$
$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=r:q$
である. これより,
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}$,
$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\dfrac{q+r}{p+q+r}\times\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}=\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p+q+r}$
以下, $\Longrightarrow$ のときの逆に計算していくことで $p\overrightarrow{\mathrm{XA}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}=\overrightarrow{0}$ が成り立つ${}_{\square}$
$3$ 点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$, $\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$, $\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$ に対し, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{D}(\overrightarrow{d})$ とする（ベクトルの原点で $\mathrm{O}$ を使うので, 外心に $\mathrm{O}$ は使わないことにする）.
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とする. $\mathrm{D}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心なので, 円周角の定理より $\angle\mathrm{BDC}=2A$, $\angle\mathrm{BDH}=A$ である. このとき, $\triangle\mathrm{DBC}$ の面積 $S_{DBC}$ は,
$S_{DBC}=\dfrac12 \times \mathrm{BH} \times \mathrm{DH} \times 2$
$= \dfrac12 \times R\sin A \times R \cos A \times 2$
$= \dfrac12R^2\sin 2A$
三角関数の加法定理（$2$ 倍角の公式）
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
を使っていますが, これを使わないで考えるのであれば...
$S_{DBC}=\dfrac12 \times \mathrm{DB} \times \mathrm{DC} \times \sin\angle\mathrm{CDB}$
$= \dfrac12 \times R \times R \times \sin2A$
$= \dfrac12R^2\sin A$
同様に, $S_{DCA}=\dfrac12R^2\sin2B$, $S_{DAB}=\dfrac12R^2\sin2C$ であるので,
$\triangle\mathrm{DCA}:\triangle\mathrm{DAB}:\triangle\mathrm{DBC}=\dfrac12R^2\sin2A:\dfrac12R^2\sin2B:\dfrac12R^2\sin2C$
$= \sin2A:\sin2B:\sin2C$
である. Lemma の証明より,
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\sin2B\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\sin2C\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A\overrightarrow{a}+\sin2B\overrightarrow{b}+\sin2C\overrightarrow{c}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
を得る. あとは, $\sin2A$, $\sin2B$, $\sin2C$ の値は, 余弦定理, 三角比の相互関係, 三角関数の $2$ 倍角の公式より
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,
$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}$,
$\sin2A=2\sin A\cos A$
より求めることができる.
ですが明日、出勤となっており、火曜・水曜・木曜と学年毎の分散登校日となっています。そのため、明日にはなんとしても一般社会人の生活に戻さなくては・・・
ということで、全く関係ありませんが先日、SwitchBotを購入したのが今日、届きました。通常価格よりもだいぶ安くなっていたので、思い切ってスマートホーム化してみようかと思いまして・・・「OK, Google テレビをつけて」とか、真夏の暑い日には帰宅する前にスマホから「OK, Google 22 度で冷房をつけて」とか、色々と使い方を考えて・・・
で、早速開封して、マニュアル通りに設定していったのですが・・・
アパートの備え付けのエアコン（CORONA社製）、テレビ（東芝社製）、HDD レコーダ（東芝社製）とも、全く使えません・・・なんか、所謂「安物買いの銭失い」ってヤツでしたね・・・いや、ひょっとしたら、アプリの設定とかなのかも知れませんので、もうしばらくは試してみたいと思いますが・・・期待出来なさそうで・・・
先日, 平面幾何の問題の際にも desmos を使って図形をかいたのですが, その際に用いた点の座標についての覚書です.
今まで使っていた $\LaTeX$ では, $2$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする, 的な計算を自動でやってくれるコマンド（を含むパケージ）があるので, 非常に簡単に描画できたのですが, desmos ではそうはいきません.
だったら, 平面幾何では $\LaTeX$ でかいた画像を使えば簡単なのですが, desmos で作るといいことが $1$ つありまして...
このブログ上からでも, 点をドラッグして, 動かすことができるんですよね.
何がいいのかというと, 重心とか垂心とかの存在を, 証明ではなく, 感覚的に理解することができるのかも知れません.
まず, $3$ 点の座標を $\mathrm{A}(a_x, a_y)$, $\mathrm{B}(b_x, b_y)$, $\mathrm{C}(c_x, c_y)$ とする. また, それぞれの位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ とする.
$2$ 点間の距離より,
$a=\sqrt{(b_x-c_x)^2+(b_y-c_y)^2}$,
$b=\sqrt{(c_x-a_x)^2+(c_y-a_y)^2}$,
$c=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2}$
である.
$\triangle\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$, $\mathrm{AI}$ と $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする.
$\angle\mathrm{BAP}=\angle\mathrm{PAC}$ より,
$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mathrm{BA}:\mathrm{AC}=c:b$,
$\mathrm{AI}:\mathrm{IP}=\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=c:\dfrac{ac}{b+c}=(b+c):c$
であるので,
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{b+c}$,
$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\times\dfrac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c}=\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{a+b+c}$,
$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{a}+\dfrac{b(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+c(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}{a+b+c}
=a\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{b}+c\overrightarrow{c}$
より, 内心の座標は
$(aa_x+bb_x+cc_x, aa_y+bB_y+cc_y)$
である.
通常, 公式等を表す場合, $a$, $b$, $c$ の値は前述の式を代入して表すものであるが, desmos 上では定義された値を使うことができるので, このまま使うこととする.
以降, 内心の座標を $(I_x, I_y)$ と表す.
内接円の半径 $r$ を求める.
直線 $\mathrm{BC}$ を表す方程式は
$y-b_y=\dfrac{c_y-b_y}{c_x-b_x}(x-b_x)$
$(y-b_y)(c_x-b_x)=(x-b_x)(c_y-b_y)$
$(b_y-c_y)x+(c_x-b_x)y+(b_xc_y-c_xb_y)=0$
であるので, 点と直線の距離の公式より
$r=\dfrac{|(b_y-c_y)I_x+(c_x-b_x)I_y+(b_xc_y-c_xb_y)|}{\sqrt{(b_y-c_y)^2+(c_x-b_x)^2}}$
$=\dfrac{|(b_y-c_y)(aa_x+bb_x+cc_x)+(c_x-b_x)(aa_y+bb_y+cc_y)+(a+b+c)(b_xc_y-c_xb_y)|}{a(a+b+c)}$
$=\dfrac{|a_xb_y+b_xc_y+c_xa_y-a_xc_y-c_xb_y-b_xa_y|}{a+b+c}$
である.
ただし, desmos 使う場合は $r=$ とすると, 極座標表示と認識してしまうので, $R$ 等の別な文字にする必要うがある.
ついでに, 三角形の外心についても考えておく.
が, その前に補題を $1$ つ証明しておく.
Lemma.
$\triangle\mathrm{ABC}$ 内の点 $\mathrm{X}$ に対し,
$p\overrightarrow{\mathrm{XA}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}=\overrightarrow{0} \iff \triangle\mathrm{XBC}:\triangle\mathrm{XCA}:\triangle\mathrm{XAB}=p:q:r$
が成り立つ.
(Proof)
$\Longrightarrow$ について.
$p\overrightarrow{\mathrm{AX}}=q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}$
$p\overrightarrow{\mathrm{AX}}+q\overrightarrow{\mathrm{AX}}+r\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\overrightarrow{\mathrm{AX}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AX}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}$
$(p+q+r)\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\left(\overrightarrow{\mathrm{AX}}+\overrightarrow{\mathrm{XB}}\right)+r\left(\overrightarrow{\mathrm{AX}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}}\right)$
$(p+q+r)\overrightarrow{\mathrm{AX}} = q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p+q+r}$
$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \dfrac{q+r}{p+q+r}\times\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}$
より, $2$ 直線 $\mathrm{AX}$, $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とすると,
$\mathrm{AX}:\mathrm{XP}=q+r:p$
である. よって,
$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{XBC}=p+q+r:p$
である.
対称性から,
$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{XCA}=p+q+r:q$
$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{XAB}=p+q+r:r$
であるので,
$\triangle\mathrm{XBC}:\triangle\mathrm{XCA}:\triangle\mathrm{XAB}=p:q:r$
が成り立つ.
$\Longleftarrow$ について.
$2$ 直線 $\mathrm{AX}$, $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$, $2$ 直線 $\mathrm{BX}$, $\mathrm{CA}$ の交点を $\mathrm{Q}$ とする.
$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると,
$\triangle\mathrm{XBC}=\dfrac{p}{p+q+r}S$, $\triangle\mathrm{XCA}=\dfrac{q}{p+q+r}S$
と表すことができる. これより,
$\mathrm{AX}:\mathrm{XP}=q+r:p$, $\mathrm{BX}:\mathrm{XQ}=p+r:q$
である. これと, メネラウスの定理より
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}}\times\dfrac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AX}}\times\dfrac{\mathrm{XQ}}{\mathrm{QB}} = 1$
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}} \times \dfrac{p+q+r}{q+r} \times \dfrac{q}{p+q+r} = 1$
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}} = \dfrac{q+r}{q}$
であるので,$\triangle\mathrm{XBC}=\dfrac{p}{p+q+r}S$, $\triangle\mathrm{XCA}=\dfrac{q}{p+q+r}S$
と表すことができる. これより,
$\mathrm{AX}:\mathrm{XP}=q+r:p$, $\mathrm{BX}:\mathrm{XQ}=p+r:q$
である. これと, メネラウスの定理より
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}}\times\dfrac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AX}}\times\dfrac{\mathrm{XQ}}{\mathrm{QB}} = 1$
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}} \times \dfrac{p+q+r}{q+r} \times \dfrac{q}{p+q+r} = 1$
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}} = \dfrac{q+r}{q}$
$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=r:q$
である. これより,
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}$,
$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\dfrac{q+r}{p+q+r}\times\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q+r}=\dfrac{q\overrightarrow{\mathrm{AB}}+r\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p+q+r}$
以下, $\Longrightarrow$ のときの逆に計算していくことで $p\overrightarrow{\mathrm{XA}}+q\overrightarrow{\mathrm{XB}}+r\overrightarrow{\mathrm{XC}}=\overrightarrow{0}$ が成り立つ${}_{\square}$
$3$ 点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$, $\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$, $\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$ に対し, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{D}(\overrightarrow{d})$ とする（ベクトルの原点で $\mathrm{O}$ を使うので, 外心に $\mathrm{O}$ は使わないことにする）.
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とする. $\mathrm{D}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心なので, 円周角の定理より $\angle\mathrm{BDC}=2A$, $\angle\mathrm{BDH}=A$ である. このとき, $\triangle\mathrm{DBC}$ の面積 $S_{DBC}$ は,
$S_{DBC}=\dfrac12 \times \mathrm{BH} \times \mathrm{DH} \times 2$
$= \dfrac12 \times R\sin A \times R \cos A \times 2$
$= \dfrac12R^2\sin 2A$
三角関数の加法定理（$2$ 倍角の公式）
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
を使っていますが, これを使わないで考えるのであれば...
$S_{DBC}=\dfrac12 \times \mathrm{DB} \times \mathrm{DC} \times \sin\angle\mathrm{CDB}$
$= \dfrac12 \times R \times R \times \sin2A$
$= \dfrac12R^2\sin A$
同様に, $S_{DCA}=\dfrac12R^2\sin2B$, $S_{DAB}=\dfrac12R^2\sin2C$ であるので,
$\triangle\mathrm{DCA}:\triangle\mathrm{DAB}:\triangle\mathrm{DBC}=\dfrac12R^2\sin2A:\dfrac12R^2\sin2B:\dfrac12R^2\sin2C$
$= \sin2A:\sin2B:\sin2C$
である. Lemma の証明より,
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\sin2B\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\sin2C\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sin2B \times \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\sin2C \times \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
$=\dfrac{\sin2A\overrightarrow{a}+\sin2B\overrightarrow{b}+\sin2C\overrightarrow{c}}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}$
を得る. あとは, $\sin2A$, $\sin2B$, $\sin2C$ の値は, 余弦定理, 三角比の相互関係, 三角関数の $2$ 倍角の公式より
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,
$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}$,
$\sin2A=2\sin A\cos A$
より求めることができる.
Bertrand's postulateの証明 5
ちょくちょく解説している課題で、整数の問題を出題しようと考えていたのだが、いまいち面白そうな問題が思いつかない。
最上級では２０１２年の数オリ予選とか、２０１８年の新春の問題とか、思いつくものは色々とあるのですが、授業には適していないレベルの問題ですから・・・
不定方程式の問題を、もう１題ほど出題しようかと思います。
話は変わり、Bertrand's postulate の証明の続きの続きの続きの続き。
だいぶ長くなってきましたが、今回で終了です。
ここまで使ってきた関数の定義を確認する.
$\Lambda(n) =
\begin{cases}
\log p & (n = p^k, p は素数) \\
0 & (上以外)
\end{cases}$
$\psi(x) = \displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
素数 $p$ に対して
$\theta(x) = \displaystyle\sum_{p \le x}\log p$,
Proposition.3
$\psi(x) = \theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\cdots~~~~~\cdots (7)$
Proof.
左辺 $\psi(x)$ は $\log p_i$ の和である.
$p_i \le x$, $p_i^2 \le x$, $\dots$, $p_i^k \le x$, $p_i^{k+1}>x$
であるとき, $\log p_i$ の係数は $k$ である.
$p_i^k \le x < p_i^{k+1}$
$k \le \log_{p_i}x < k+1$
より, $k=[\log_{p_i}x]$ である.
同様に, 右辺 $\theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\cdots$ も $\log p_i$ の和である.
$p_i \le x$, $p_i \le x^{\frac12}$, $\dots$, $p_i \le x^{\frac1k}$, $p_i>x^{\frac1{k+1}}$
であるとき, $\log p_i$ の係数は $k$ である.
より, $k=[\log_{p_i}x]$ である.
以上より, 成り立つ${}_{\square}$
これより,
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) = \theta(x)-\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})-\theta(x^{\frac14})+\cdots$
である. また,
$\theta(x^{\frac1i}) \ge \theta(x^{\frac1{i+1}})$
であり, $k>\log_2x$ のとき,
$2^k>x$
$2>x^{\frac1k}$
より, $\theta(x^{\frac1k})=0$ となるので,
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) = \theta(x)-\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})-\theta(x^{\frac14})+\cdots < \theta(x)$
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) < \theta(x)$
$\psi(x) < \theta(x)+2\psi(x^{\frac12})$
また,
$\psi(x) = \theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\theta(x^{\frac14})+\cdots$
より
$\psi(x) \ge \theta(x)$
である.
(5) より $\psi(x) \le x\log6$ であるので,
$\psi(x^{\frac12}) \le \sqrt{x}\log6$
である.
これらより,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) < (\theta(x)+2\psi(x^{\frac12}))-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$\le \theta(x)+2\psi(x^{\frac12})-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$< \theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\sqrt{x}\log6$
であるので,
$\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)>\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-2\sqrt{x}\log6$
(6) より $\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1)$ であるので,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-2\sqrt{x}\log6 \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1) -2\sqrt{x}\log6$
であるので,
$\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right) > \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1) -2\sqrt{x}\log6$
である.
ここから先は, 原文では因数分解をした上で近似値計算をしているのだが,
せっかくなので私にも簡単にできる別なやり方で確認する.
desmos で, $y=\dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)-2\sqrt{x}\log6$ のグラフをかいてみると...
このようになっている.
このグラフの, $x$ 軸との共有点を調べると,
おおよそ $1559$ と $1560$ の間にもつことが分かる.
これ以降に共有点がないことを確認するには,
$y=\dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)-2\sqrt{x}\log6$
$\dfrac{d}{dx}y=\dfrac13\log\dfrac43-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{\log6}{\sqrt{x}}$
$\dfrac{d^2}{dx^2}y = \dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{\log6}{2x\sqrt{x}}>0$
より, グラフは下に凸であることが分かるので, 共有点は（$x=0$ を含めて）$2$ 個であるので, $x \ge 1560$ では $y>0$ であることが分かる.
では, $1 < x < 1560$ のときは成り立たないのか, というと,
証明の際には多数の不等式で評価をし続けてきたので, その分の誤差である.
ということは, その誤差があると, これでは証明にならないのか...
というと, そうではなく, 無限にあった確認しなくてはならない $x$ の範囲が,
高々有限個にまで減らすことができた, ということである.
なので, 残りは実際に素数があるかどうかを調べればよい.
例えば, $x$ の値に対して $x<p\le2x$ となる素数 $p$ を具体的に挙げると...
$1<x<2$ に対しては, 素数 $p=2$ が存在する.
$2\le x<3$ に対しては, 素数 $p=3$ が存在する.
$3\le x<5$ に対しては, 素数 $p=5$ が存在する.
$5\le x<7$ に対しては, 素数 $p=7$ が存在する.
$7\le x<13$ に対しては, 素数 $p=13$ が存在する.
実際に, 素数 $2$, $3$, $5$, $7$, $13$, $23$, $43$, $83$, $163$, $317$, $631$, $787$ がある.
以上より, Bertrand's postulate が成り立つ${}_{\square}$
最上級では２０１２年の数オリ予選とか、２０１８年の新春の問題とか、思いつくものは色々とあるのですが、授業には適していないレベルの問題ですから・・・
不定方程式の問題を、もう１題ほど出題しようかと思います。
話は変わり、Bertrand's postulate の証明の続きの続きの続きの続き。
だいぶ長くなってきましたが、今回で終了です。
ここまで使ってきた関数の定義を確認する.
$\Lambda(n) =
\begin{cases}
\log p & (n = p^k, p は素数) \\
0 & (上以外)
\end{cases}$
$\psi(x) = \displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
素数 $p$ に対して
$\theta(x) = \displaystyle\sum_{p \le x}\log p$,
Proposition.3
$\psi(x) = \theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\cdots~~~~~\cdots (7)$
Proof.
左辺 $\psi(x)$ は $\log p_i$ の和である.
$p_i \le x$, $p_i^2 \le x$, $\dots$, $p_i^k \le x$, $p_i^{k+1}>x$
であるとき, $\log p_i$ の係数は $k$ である.
$p_i^k \le x < p_i^{k+1}$
$k \le \log_{p_i}x < k+1$
より, $k=[\log_{p_i}x]$ である.
同様に, 右辺 $\theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\cdots$ も $\log p_i$ の和である.
$p_i \le x$, $p_i \le x^{\frac12}$, $\dots$, $p_i \le x^{\frac1k}$, $p_i>x^{\frac1{k+1}}$
であるとき, $\log p_i$ の係数は $k$ である.
$x^{\frac{1}{k+1}} < p_i$ かつ $p_i \le x^{\frac1k}$
$x < p_i^{k+1}$ かつ $p_i^k \le x$より, $k=[\log_{p_i}x]$ である.
以上より, 成り立つ${}_{\square}$
これより,
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) = \theta(x)-\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})-\theta(x^{\frac14})+\cdots$
である. また,
$\theta(x^{\frac1i}) \ge \theta(x^{\frac1{i+1}})$
であり, $k>\log_2x$ のとき,
$2^k>x$
$2>x^{\frac1k}$
より, $\theta(x^{\frac1k})=0$ となるので,
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) = \theta(x)-\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})-\theta(x^{\frac14})+\cdots < \theta(x)$
$\psi(x)-2\psi(x^{\frac12}) < \theta(x)$
$\psi(x) < \theta(x)+2\psi(x^{\frac12})$
また,
$\psi(x) = \theta(x)+\theta(x^{\frac12})+\theta(x^{\frac13})+\theta(x^{\frac14})+\cdots$
より
$\psi(x) \ge \theta(x)$
である.
(5) より $\psi(x) \le x\log6$ であるので,
$\psi(x^{\frac12}) \le \sqrt{x}\log6$
である.
これらより,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) < (\theta(x)+2\psi(x^{\frac12}))-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$\le \theta(x)+2\psi(x^{\frac12})-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$< \theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\sqrt{x}\log6$
であるので,
$\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)>\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-2\sqrt{x}\log6$
(6) より $\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1)$ であるので,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-2\sqrt{x}\log6 \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1) -2\sqrt{x}\log6$
であるので,
$\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right) > \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3} - \log 2(x+1) -2\sqrt{x}\log6$
である.
ここから先は, 原文では因数分解をした上で近似値計算をしているのだが,
せっかくなので私にも簡単にできる別なやり方で確認する.
desmos で, $y=\dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)-2\sqrt{x}\log6$ のグラフをかいてみると...
このようになっている.
このグラフの, $x$ 軸との共有点を調べると,
おおよそ $1559$ と $1560$ の間にもつことが分かる.
これ以降に共有点がないことを確認するには,
$y=\dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)-2\sqrt{x}\log6$
$\dfrac{d}{dx}y=\dfrac13\log\dfrac43-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{\log6}{\sqrt{x}}$
$\dfrac{d^2}{dx^2}y = \dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{\log6}{2x\sqrt{x}}>0$
より, グラフは下に凸であることが分かるので, 共有点は（$x=0$ を含めて）$2$ 個であるので, $x \ge 1560$ では $y>0$ であることが分かる.
では, $1 < x < 1560$ のときは成り立たないのか, というと,
証明の際には多数の不等式で評価をし続けてきたので, その分の誤差である.
ということは, その誤差があると, これでは証明にならないのか...
というと, そうではなく, 無限にあった確認しなくてはならない $x$ の範囲が,
高々有限個にまで減らすことができた, ということである.
なので, 残りは実際に素数があるかどうかを調べればよい.
例えば, $x$ の値に対して $x<p\le2x$ となる素数 $p$ を具体的に挙げると...
$1<x<2$ に対しては, 素数 $p=2$ が存在する.
$2\le x<3$ に対しては, 素数 $p=3$ が存在する.
$3\le x<5$ に対しては, 素数 $p=5$ が存在する.
$5\le x<7$ に対しては, 素数 $p=7$ が存在する.
$7\le x<13$ に対しては, 素数 $p=13$ が存在する.
実際に, 素数 $2$, $3$, $5$, $7$, $13$, $23$, $43$, $83$, $163$, $317$, $631$, $787$ がある.
以上より, Bertrand's postulate が成り立つ${}_{\square}$
Bertrand's postulateの証明 4
先日、 Google Nest Hub を購入した。
アパートの電化製品で、スマートホームに対応したデバイスは一切ないのだが・・・
何故購入したのかと言うと、安くなっていたから。通常 15,400 円であるものが、ヨドバシさんで 9,900 円となっていたので。使い方としては、キッチンにでも置いて使おうかと思っています。
ここ最近、在宅勤務のおかげで、家で料理をする機会が非常に増えています。で、料理をする際に、音楽を流しながら、なんて出来たらいいな、と思いまして。ついでに、フォトフレームとしての使い方も出来るので、今までの写真（から厳選したもの）を表示させようかと思いまして。
フォトフレームとしての使い方はとても簡単でした。Google アカウントでログインし、そのアカウントの Google フォトに保存されているアルバムの中から、表示させるアルバムを選択するだけで、あとは Wi-Fi 経由でそのアルバムの中から写真をランダムに表示させてくれます。
次に、音楽を再生させる方法について、Google さんの Play Music と 2018 年にサービスを開始した YouTube Music があるのですが・・・
昔、Play Music にクレジットカードを登録したことがあり、そのおかげで月額料金なしで最 5 万曲まで、自分の持っている音楽ファイルを保存することができます（現時点で手持ちの曲は、ゲームのサントラの 1 秒程度の効果音の“曲”も含めてもまだ 16,000 曲くらい）。それをインターネットにつながる環境であれば、いつでも聴くことができるのです。なので、通話はフィーチャーフォン（ガラケー）愛用者の私ですが、データ専用端末として mineo のデータ専用 SIM を使っている iPhone6 をカーオーディオに接続して、車内で楽しむことができます。
ちなみに、 mineo の節約モード（低速モード）では理論値で 200kbps なのですが、 Play Music 自体は速度に合わせて自動に通信速度を調整してくれるらしいので、節約中でも問題なく聴くことができます。
で、 YouTube Music に乗り換える際に、問題が 1 つありまして・・・
考えてみたら、 Play Music を使ってたアカウントと Google フォトを使ってるアカウント、別な Google アカウントなんですよね・・・
って事で、どっちかに統一することを考えました。 Google Nest Hub では、スマホやタブレットからアカウントを切り替えることはできますが、今までフォトフレームとして写真を表示してたところで「OK Google、音楽をかけて」と言ったところで、アカウントの切り替えまではしてくれないので・・・
で、どっちに統一しようかと考えました。統一する為には、一方にアップしてあるファイルを、他方にもアップして、設定するだけでいいのですが・・・
フォトを移すには、写真のファイルを全てアップし直すだけ・・・かと思っていたら、困ったことが 2 つありました。まず、写真のファイルがどこにあるのか分かりづらい・・・外付け HDD にある写真も全てアップしてあったので、写真を探しきれない・・・そしてもう 1 つの問題が、フォトフレームで表示させる写真を選ぶのに、昨日作業をしたときに 3 時間くらいかかった・・・
音楽を移すことを考えると、最も問題になるのが・・・非常に時間がかかってしまう・・・前述の通り、 16,000 曲くらい持っているので、それをアップロードし直す、というのは恐ろしいくらいの時間がかかりそう・・・
まあ、急がないので、（後々は Play Music と統合されるだろうけど）YouTube Music に乗り換える必要があるので、この際だから Google フォトを使ってるアカウントに統合することにしました。まあ、何時間かかるかは分かりませんが・・・
Bertrand's postulateの証明の続きの続きの続き。
Proposition.2. で示した式
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
より, $\sum$ を使わずに表すと
$\log[x]! = \psi(x)+\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+ \cdots$
であり, $x$ に $\dfrac{x}{2}$ を代入すると
$\log\left[\dfrac{x}{2}\right]! = \psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{6}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)+\cdots$
である.
また,
$\psi(x) = \displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
より,
$\psi\left(\dfrac{x}{i}\right) \ge \psi\left(\dfrac{x}{i+1}\right)$
であり, また $e$ が大きくなっていき, $x<e$ となると $n \le \dfrac{x}{e}$ となる正の整数は存在しないので,
$\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) = 0$
となる.
これらより,
$\log R(x) = \log\dfrac{[x]!}{\left[\frac{x}{2}\right]!^2}$
$= \log[x]! - 2\log\left[\dfrac{x}{2}\right]!$
$= \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\cdots$
であるので,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \cdots (3)$
が成り立つ.
Lemma.2 ($R(x) \le 6^{\frac{x}{2}}$) より
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \log 6^{\frac{x}{2}} = \dfrac{x}{2}\log 6$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6 \cdots (4)$
が成り立つ. この $x$ に, $\dfrac{x}{2}$, $\dfrac{x}{4}$, $\dfrac{x}{8}$, $\dots$ を代入すると
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right) \le \dfrac{x}{4}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{8}\right) \le \dfrac{x}{8}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{16}\right) \le \dfrac{x}{16}\log6$
$\vdots$
であり, これらの和をとると,
$\psi(x) \le \dfrac{x}{2}\log6 + \dfrac{x}{4}\log6 + \dfrac{x}{8}\log6 + \dfrac{x}{16}\log6 + \cdots$
$= \left(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\cdots\right)x\log6$
$= \dfrac{\frac12}{1-\frac12}x\log6$
$= x\log6$,
即ち
$\psi(x) \le x\log6 \cdots (5)$
が成り立つ.
Lemma.1. より
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x)$,
(3) より
$\log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
であるので,
$\log \dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \pi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$\log 2^{x-1}-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$(x-1)\log 2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
ここで, (5) で $x$ に $\dfrac{x}{3}$ を代入すると
$\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \le \dfrac{x}{3}\log6$
であるので,
$(x-1)\log2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x}{3}\log6$
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge (x-1)\log2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= x \log2-\log 2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= \dfrac{x}{3}(3\log2-\log6)-(\log2+\log(x+1))$
$= \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1) \cdots (6)$
を得る.
アパートの電化製品で、スマートホームに対応したデバイスは一切ないのだが・・・
何故購入したのかと言うと、安くなっていたから。通常 15,400 円であるものが、ヨドバシさんで 9,900 円となっていたので。使い方としては、キッチンにでも置いて使おうかと思っています。
ここ最近、在宅勤務のおかげで、家で料理をする機会が非常に増えています。で、料理をする際に、音楽を流しながら、なんて出来たらいいな、と思いまして。ついでに、フォトフレームとしての使い方も出来るので、今までの写真（から厳選したもの）を表示させようかと思いまして。
フォトフレームとしての使い方はとても簡単でした。Google アカウントでログインし、そのアカウントの Google フォトに保存されているアルバムの中から、表示させるアルバムを選択するだけで、あとは Wi-Fi 経由でそのアルバムの中から写真をランダムに表示させてくれます。
次に、音楽を再生させる方法について、Google さんの Play Music と 2018 年にサービスを開始した YouTube Music があるのですが・・・
昔、Play Music にクレジットカードを登録したことがあり、そのおかげで月額料金なしで最 5 万曲まで、自分の持っている音楽ファイルを保存することができます（現時点で手持ちの曲は、ゲームのサントラの 1 秒程度の効果音の“曲”も含めてもまだ 16,000 曲くらい）。それをインターネットにつながる環境であれば、いつでも聴くことができるのです。なので、通話はフィーチャーフォン（ガラケー）愛用者の私ですが、データ専用端末として mineo のデータ専用 SIM を使っている iPhone6 をカーオーディオに接続して、車内で楽しむことができます。
ちなみに、 mineo の節約モード（低速モード）では理論値で 200kbps なのですが、 Play Music 自体は速度に合わせて自動に通信速度を調整してくれるらしいので、節約中でも問題なく聴くことができます。
で、 YouTube Music に乗り換える際に、問題が 1 つありまして・・・
考えてみたら、 Play Music を使ってたアカウントと Google フォトを使ってるアカウント、別な Google アカウントなんですよね・・・
って事で、どっちかに統一することを考えました。 Google Nest Hub では、スマホやタブレットからアカウントを切り替えることはできますが、今までフォトフレームとして写真を表示してたところで「OK Google、音楽をかけて」と言ったところで、アカウントの切り替えまではしてくれないので・・・
で、どっちに統一しようかと考えました。統一する為には、一方にアップしてあるファイルを、他方にもアップして、設定するだけでいいのですが・・・
フォトを移すには、写真のファイルを全てアップし直すだけ・・・かと思っていたら、困ったことが 2 つありました。まず、写真のファイルがどこにあるのか分かりづらい・・・外付け HDD にある写真も全てアップしてあったので、写真を探しきれない・・・そしてもう 1 つの問題が、フォトフレームで表示させる写真を選ぶのに、昨日作業をしたときに 3 時間くらいかかった・・・
音楽を移すことを考えると、最も問題になるのが・・・非常に時間がかかってしまう・・・前述の通り、 16,000 曲くらい持っているので、それをアップロードし直す、というのは恐ろしいくらいの時間がかかりそう・・・
まあ、急がないので、（後々は Play Music と統合されるだろうけど）YouTube Music に乗り換える必要があるので、この際だから Google フォトを使ってるアカウントに統合することにしました。まあ、何時間かかるかは分かりませんが・・・
Bertrand's postulateの証明の続きの続きの続き。
Proposition.2. で示した式
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
より, $\sum$ を使わずに表すと
$\log[x]! = \psi(x)+\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+ \cdots$
であり, $x$ に $\dfrac{x}{2}$ を代入すると
$\log\left[\dfrac{x}{2}\right]! = \psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{6}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)+\cdots$
である.
また,
$\psi(x) = \displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
より,
$\psi\left(\dfrac{x}{i}\right) \ge \psi\left(\dfrac{x}{i+1}\right)$
であり, また $e$ が大きくなっていき, $x<e$ となると $n \le \dfrac{x}{e}$ となる正の整数は存在しないので,
$\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) = 0$
となる.
これらより,
$\log R(x) = \log\dfrac{[x]!}{\left[\frac{x}{2}\right]!^2}$
$= \log[x]! - 2\log\left[\dfrac{x}{2}\right]!$
$= \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)+\cdots$
であるので,
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \cdots (3)$
が成り立つ.
Lemma.2 ($R(x) \le 6^{\frac{x}{2}}$) より
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \log R(x) \le \log 6^{\frac{x}{2}} = \dfrac{x}{2}\log 6$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6 \cdots (4)$
が成り立つ. この $x$ に, $\dfrac{x}{2}$, $\dfrac{x}{4}$, $\dfrac{x}{8}$, $\dots$ を代入すると
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \le \dfrac{x}{2}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{4}\right) \le \dfrac{x}{4}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{4}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{8}\right) \le \dfrac{x}{8}\log6$
$\psi\left(\dfrac{x}{8}\right)-\psi\left(\dfrac{x}{16}\right) \le \dfrac{x}{16}\log6$
$\vdots$
であり, これらの和をとると,
$\psi(x) \le \dfrac{x}{2}\log6 + \dfrac{x}{4}\log6 + \dfrac{x}{8}\log6 + \dfrac{x}{16}\log6 + \cdots$
$= \left(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\cdots\right)x\log6$
$= \dfrac{\frac12}{1-\frac12}x\log6$
$= x\log6$,
即ち
$\psi(x) \le x\log6 \cdots (5)$
が成り立つ.
Lemma.1. より
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x)$,
(3) より
$\log R(x) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
であるので,
$\log \dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \pi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$\log 2^{x-1}-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
$(x-1)\log 2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\psi\left(\dfrac{x}{3}\right)$
ここで, (5) で $x$ に $\dfrac{x}{3}$ を代入すると
$\psi\left(\dfrac{x}{3}\right) \le \dfrac{x}{3}\log6$
であるので,
$(x-1)\log2-\log(x+1) \le \psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x}{3}\log6$
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge (x-1)\log2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= x \log2-\log 2-\log(x+1)-\dfrac{x}{3}\log6$
$= \dfrac{x}{3}(3\log2-\log6)-(\log2+\log(x+1))$
$= \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1)$
即ち
$\psi(x)-\psi\left(\dfrac{x}{2}\right) \ge \dfrac{x}{3}\log\dfrac{4}{3}-\log2(x+1) \cdots (6)$
を得る.
授業で出題した問題（平日課題 No.03）
今住んでいるところのゴミ出しは、燃えるゴミが月・木なのだが、最近の在宅勤務が原因で、だいぶ朝の行動が遅くなっています。一応、起床時間はなんとか保っているのだが、先週中は教科書配布の為に、１０時に合わせて出勤していたので、ゴミ出しをすっかり忘れてしまっていまして・・・で、連休に入ってしまったため、今日のゴミ出しが出来ず・・・
今日は、平日課題の解説。内容としては、三角形の面積の公式の証明。
センター試験なんかでも、数学 I の三角比と数学 A の平面幾何のどっちを使うのかを判断する必要がある（正確には、どっちを使うのか判断するのではなく、どっちも使いこなす必要がある）ので、そこら辺を意識した問題です。
以下の面積の公式を証明せよ. 特に断らない限り, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ と表し, その面積 $S$ は
$S=\dfrac12bc\sin A$
で与えられることは用いてもよい.
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,
$S=\dfrac12r(a+b+c)$
Proof.
上記のように, 頂点 A, B, C それぞれと内心 I とを結ぶ.
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ と表すとする. すると,
$S_{IBC}=\dfrac12ar$,
$S_{ICA}=\dfrac12br$,
$S_{IAB}=\dfrac12cr$
であるので,
$S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\dfrac12ar+\dfrac12br+\dfrac12cr=\dfrac12r(a+b+c)$
より成り立つ${}_{\square}$
(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の半径を $R$ とするとき,
$S=\dfrac{abc}{4R}$
Proof.
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ であるので,
$S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12bc \times \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$
が成り立つ${}_{\square}$
今日は、平日課題の解説。内容としては、三角形の面積の公式の証明。
センター試験なんかでも、数学 I の三角比と数学 A の平面幾何のどっちを使うのかを判断する必要がある（正確には、どっちを使うのか判断するのではなく、どっちも使いこなす必要がある）ので、そこら辺を意識した問題です。
以下の面積の公式を証明せよ. 特に断らない限り, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$ と表し, その面積 $S$ は
$S=\dfrac12bc\sin A$
で与えられることは用いてもよい.
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,
$S=\dfrac12r(a+b+c)$
Proof.
上記のように, 頂点 A, B, C それぞれと内心 I とを結ぶ.
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ と表すとする. すると,
$S_{IBC}=\dfrac12ar$,
$S_{ICA}=\dfrac12br$,
$S_{IAB}=\dfrac12cr$
であるので,
$S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\dfrac12ar+\dfrac12br+\dfrac12cr=\dfrac12r(a+b+c)$
より成り立つ${}_{\square}$
(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の半径を $R$ とするとき,
$S=\dfrac{abc}{4R}$
Proof.
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ であるので,
$S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12bc \times \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$
が成り立つ${}_{\square}$
Bertrand's postulateの証明 3
本日、緊急事態宣言の延長が確定したようですが・・・
そもそもの緊急事態宣言自体が遅かった、というのが根底にあるとか、そんな事は今更言ってはいけないのでしょうけど・・・
まあ、現状の私としては、出来ることをするまでですが。
最近、アパートにいる時間が長くなり、料理をする時間が増えていまして、今まではやらなかった事、時間がなくて出来なかったことなど、色々と画策していました。
普段、アパートでは玄米を食べていました。もう７、８年前くらいに象印の精米機 BT-AF05を買ったので、それ以来、、精米して直ぐに炊飯した方が美味しいので、ということで白米ではなく玄米で購入したりしていたのですが・・・最近の炊飯器って、大抵は玄米炊飯もできますよね・・・
って事で、玄米を炊いて食べてたりしていたので、なかなか精米機を使う機会もなかったのですが・・・
毎年、１ヶ月くらいは精米して食べてる時期がありました。玄米で食べるのも、我慢の限界で・・・ではなく、米糠が欲しくて、っていうことです。
そう、糠漬けを作るために、米糠をとっていたのです。
ただ糠床は、毎日混ぜないと、乳酸菌が死んでダメになってしまうものです。なので、毎日混ぜていたのですが、残念ながら、遠征で４日間とか不在になることもありまして・・・
って事で例年、夏休み中に糠床がダメになってしまって、糠床を処分して、それから糠床を諦めて・・・
なんて感じで、糠床を１年毎に作っていたりしたのです。
で、この在宅勤務期間を利用して、今年の糠床を作りました。とりあえず、きゅうりが美味しく漬かりました。今日取り出して、次は大根を漬けてみましたので、また２、３日後が楽しみですね。
さて、少し間が開いたけど、Bertrand's postulate の証明の続きの続き。
ここらへんからが、だいぶ面倒くさくなってくる・・・
von Mangoldt function（フォン・マンゴルト関数）$\Lambda$ を
$\Lambda(n) =
\begin{cases}
\log p & (n=p^k, p は素数) \\
0 & (上以外)
\end{cases}$
で定義する. 具体的にいくつか具体例を挙げると,
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & \log 2 \\
\hline
3 & \log 3 \\
\hline
4 & \log 2 \\
\hline
5 & \log 5 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
6 & 0 \\
\hline
7 & \log 7 \\
\hline
8 & \log 2 \\
\hline
9 & \log 3 \\
\hline
10 & 0 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
11 & \log 11 \\
\hline
12 & 0 \\
\hline
13 & \log 13 \\
\hline
14 & 0 \\
\hline
15 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
となっている.
「$d|n$」は「$d$ が $n$ を割り切る」, 即ち「$d$ は $n$ の約数である」といういことを表す.
Proposition.1.
von Mongoldt function $\Lambda$ に対し,
$\log n = \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
が成り立つ.
Proof.
$n$ を素因数分解した結果を $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i}$ と表すと,
$\log n = \log (p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i})$
$= k_1\log p_1 + k_2\log p_2 + \cdots + k_i\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\log p_1 + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\log p_2 + \cdots + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\Lambda(p_1^{j}) + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\Lambda(p_2^{j}) + \cdots +
\displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\Lambda(p_i^{j})$
$= \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
より, 成り立つ${}_{\square}$
続いて, 素数 $p$ に対して,
$\theta(x) = \displaystyle\sum_{p \le x}\log p$
と定義する. また, 正の実数 $x$ に対して
$\psi(x)=\displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
と定義する.
$\theta(x)$ は, $x$ 以下の素数の対数の和であるので, この $\theta(x)$ に対して, $\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)>0$ であることを証明できれば, $x$ 以下の素数の個数と $\dfrac{x}{2}$ 以下の素数の個数が異なる, 即ち Bertrand's postulate の証明が出来たことになる.
Ploposition.2.
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) \cdots (2)$
が成り立つ.
Proof.
$\log[x]! = \log(1 \times 2 \times \cdots \times ([x]-1) \times [x])$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\log n$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d)$
ここで, $n \le x$ かつ $d|n$ のときの和であるので, $de \le x$ のときであるので,
$\displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d)$
である.
また,
$\displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{e=1}^{[x]}\sum_{d=1}^{\left[\frac{x}{e}\right]}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\sum_{d \le \frac{x}{e}}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
である.
以上より,
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
が成り立つ${}_{\square}$
続きはこちら。
そもそもの緊急事態宣言自体が遅かった、というのが根底にあるとか、そんな事は今更言ってはいけないのでしょうけど・・・
まあ、現状の私としては、出来ることをするまでですが。
最近、アパートにいる時間が長くなり、料理をする時間が増えていまして、今まではやらなかった事、時間がなくて出来なかったことなど、色々と画策していました。
普段、アパートでは玄米を食べていました。もう７、８年前くらいに象印の精米機 BT-AF05を買ったので、それ以来、、精米して直ぐに炊飯した方が美味しいので、ということで白米ではなく玄米で購入したりしていたのですが・・・最近の炊飯器って、大抵は玄米炊飯もできますよね・・・
って事で、玄米を炊いて食べてたりしていたので、なかなか精米機を使う機会もなかったのですが・・・
毎年、１ヶ月くらいは精米して食べてる時期がありました。玄米で食べるのも、我慢の限界で・・・ではなく、米糠が欲しくて、っていうことです。
そう、糠漬けを作るために、米糠をとっていたのです。
ただ糠床は、毎日混ぜないと、乳酸菌が死んでダメになってしまうものです。なので、毎日混ぜていたのですが、残念ながら、遠征で４日間とか不在になることもありまして・・・
って事で例年、夏休み中に糠床がダメになってしまって、糠床を処分して、それから糠床を諦めて・・・
なんて感じで、糠床を１年毎に作っていたりしたのです。
で、この在宅勤務期間を利用して、今年の糠床を作りました。とりあえず、きゅうりが美味しく漬かりました。今日取り出して、次は大根を漬けてみましたので、また２、３日後が楽しみですね。
さて、少し間が開いたけど、Bertrand's postulate の証明の続きの続き。
ここらへんからが、だいぶ面倒くさくなってくる・・・
von Mangoldt function（フォン・マンゴルト関数）$\Lambda$ を
$\Lambda(n) =
\begin{cases}
\log p & (n=p^k, p は素数) \\
0 & (上以外)
\end{cases}$
で定義する. 具体的にいくつか具体例を挙げると,
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & \log 2 \\
\hline
3 & \log 3 \\
\hline
4 & \log 2 \\
\hline
5 & \log 5 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
6 & 0 \\
\hline
7 & \log 7 \\
\hline
8 & \log 2 \\
\hline
9 & \log 3 \\
\hline
10 & 0 \\
\hline
\end{array}
~~~
\begin{array}{|c|c|}
\hline
~~n~~ & ~~\Lambda(n)~~ \\
\hline
11 & \log 11 \\
\hline
12 & 0 \\
\hline
13 & \log 13 \\
\hline
14 & 0 \\
\hline
15 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
となっている.
「$d|n$」は「$d$ が $n$ を割り切る」, 即ち「$d$ は $n$ の約数である」といういことを表す.
Proposition.1.
von Mongoldt function $\Lambda$ に対し,
$\log n = \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
が成り立つ.
Proof.
$n$ を素因数分解した結果を $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i}$ と表すと,
$\log n = \log (p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_i^{k_i})$
$= k_1\log p_1 + k_2\log p_2 + \cdots + k_i\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\log p_1 + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\log p_2 + \cdots + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\log p_i$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{k_1}\Lambda(p_1^{j}) + \displaystyle\sum_{j=1}^{k_2}\Lambda(p_2^{j}) + \cdots +
\displaystyle\sum_{j=1}^{k_i}\Lambda(p_i^{j})$
$= \displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)$
より, 成り立つ${}_{\square}$
続いて, 素数 $p$ に対して,
$\theta(x) = \displaystyle\sum_{p \le x}\log p$
と定義する. また, 正の実数 $x$ に対して
$\psi(x)=\displaystyle\sum_{n \le x}\Lambda(n)$
と定義する.
$\theta(x)$ は, $x$ 以下の素数の対数の和であるので, この $\theta(x)$ に対して, $\theta(x)-\theta\left(\dfrac{x}{2}\right)>0$ であることを証明できれば, $x$ 以下の素数の個数と $\dfrac{x}{2}$ 以下の素数の個数が異なる, 即ち Bertrand's postulate の証明が出来たことになる.
Ploposition.2.
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right) \cdots (2)$
が成り立つ.
Proof.
$\log[x]! = \log(1 \times 2 \times \cdots \times ([x]-1) \times [x])$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\log n$
$= \displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d)$
ここで, $n \le x$ かつ $d|n$ のときの和であるので, $de \le x$ のときであるので,
$\displaystyle\sum_{n \le x}\sum_{d|n}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d)$
である.
また,
$\displaystyle\sum_{de \le x}\Lambda(d) = \displaystyle\sum_{e=1}^{[x]}\sum_{d=1}^{\left[\frac{x}{e}\right]}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\sum_{d \le \frac{x}{e}}\Lambda(d)$
$= \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
である.
以上より,
$\log[x]! = \displaystyle\sum_{e \le x}\psi\left(\dfrac{x}{e}\right)$
が成り立つ${}_{\square}$
続きはこちら。
授業で出題した課題（週末課題 No.03）
そういえば、大型連休になりました。
例年であれば、部活動の遠征で、全日程を県外で過ごすのですが、新型コロナの影響で休校となっているので、またもや在宅勤務をするわけです。
つまり、遠征に行かない大型連休なんて、６年振りくらいですね。
去年なんかはもう記憶にないかも知れませんが、１０連休だったわけですよ。その１０日間のうち、中１日と最後の１日がオフだったわけですが、それで実家に帰省とかしても意味がないですし・・・
しかし、この先、どうなるんですかね？？９月入学で、って話が強くなってきましたが、その場合、在校生はどうなるんでしょうか？？私は私立高校に勤務しているので、収入はどうなるのでしょうか？？仮に９月入学となった場合、学校としては入学までの５ヶ月間は授業料収入がなくなるので、給料がなくなるのでしょうか？？スタディサプリで生徒対応したり、Google Classroom で課題配信をして指導をしたり、色々とやっているのに、それも無給でということになるのでしょうか？？在校生から取っている今の授業料も、９月から新学年がスタートとなった場合、５ヶ月分は無料、４月に払った分は９月の授業料、とかなるでしょうから、結局は５ヶ月分は、学校としては無収入になるわけですよね・・・在校生から、卒業までに３年５ヶ月分の授業料を取るわけにもいきませんから・・・
それにしても、この自宅勤務が続いているおかげで、今年もぬか床を作ることができました。例年だと、遠征が続いたりするので、冷蔵庫の中でゆっくりと発酵させていたのですが、今年は毎日ちゃんと面倒をみることができたので、室温の中で作ることができました。で、月曜日に漬けたきゅうりが、すごく美味しくなっていました。もう、これだけでご飯が食べられちゃいますよ。
さて、今日は Classroom で配信している課題の解説。
週末課題 No.03 です。
連立方程式と２次不等式の問題です。５問それぞれに、出題意図をもった問題です。
２次不等式を解くためには、２次関数のグラフをイメージしなくてはいけない、ということで、 desmos でグラフをかいて解説をしています。
方程式・不等式を解け.
(1) $\begin{cases}
x+y=5 \\
xy=3
\end{cases}$
連立方程式なのだが, 出題意図としては, 複号の使い方に慣れる, です.
第 $1$ 式より, $y=5-x$ なので, これを第 $2$ 式に代入すると,
$x(5-x) = 3$
$x^2-5x+3 = 0$
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}
= \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
このあと, この複号 ($\pm$) を含む計算をちゃんと出来るかどうかの問題でした.
$y=5-x$
$= 5-\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{10-5\mp\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}$.
より, $(x, y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}\right)$（複号同順）.
この, $\pm$ と $\mp$ の使い分けを理解しているかが, この問題のメインである.
$-1 \times (\pm1) = \mp1$
となることを理解しているのであれば特に問題ないが, よく分からないのであれば, 最も確実なのは, 場合分けをしてそれぞれ計算することである.
$x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2}$,
$x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$.
以上より,
$(x, y)\left(\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)$.
一応, 別解として, 数学 II で学ぶ解と係数の関係（の直後に学ぶ, $2$ 数を解にもつ方程式）を使って解くこともできます.
$2$ 数 $x$, $y$ を解にもつ $t$ を変数とする $2$ 次方程式の $1$ つは
$t^2-(x+y)t+xy = 0$
$t^2-5t+3=0$
（これで前述の $x$ の $2$ 次方程式と同じものができたので, 後は同様に解く）
(2) $\begin{cases}
2x+y+z = 7 \\
x+2y+z = 9 \\
x+y+2z = 8
\end{cases}$
ただの連立方程式の問題です. 掃き出し法（中学校で習う加減法）の意味をちゃんと理解しているかがポイントです.
第 $1$ 式 $-$ 第 $2$ 式より
$x-y = -2$,
第 $1$ 式 $\times2 -$ 第 $3$ 式より
$3x+y=6$,
この $2$ 式の和をとると
$4x = 4$
$x=1$,
これを順に代入すると,
$1-y=-2$
$y=3$,
$2\times1+3+z=7$
$z=2$.
掃き出し法（加減法）の一番のポイントは, 式を $1$ 本減らしてでも文字数を $1$ つ減らす, ということである. これにより, $n$ 個の文字があっても $n$ 本の（一次独立な）式があれば, これで解くことができる.
今回の問題は, 係数が cycle になっているので, 別解が存在する.
第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より,
$4x+4y+4z=24$
$x+y+z=6$,
第 $1$ 式, 第 $2$ 式, 第 $3$ 式それぞれからこの式を引くと,
$x=1$, $y=3$, $z=2$.
(3) $x^2-5x+4<0$
これは普通の $2$ 次不等式の問題です. “ふくは内”で解くのも $1$ つのやり方ではありますが, ちゃんと $2$ 次関数のグラフを使った方法を理解するようにさせるための問題です.
$2$ 次不等式を解くために, 何故因数分解をしたり, 解の公式を使ったりするのか.
それを理解していれば, (4) や (5) も同じように解けますよ, と言いたいがためのこの $3$ 問です.
$2$ 次関数 $y=x^2-5x+4$ を考える. $2$ 次不等式 $x^2-5x+4<0$ となるのは, グラフの $y<0$ 即ち $x$ 軸よりも下の部分である.
このグラフと $x$ 軸との共有点を調べるために, $x$ 軸の方程式である $y=0$ と連立する.
$\begin{cases}
y=x^2-5x+4 \\
y=0
\end{cases}$
これを解くために, 代入することで, $2$ 次方程式 $x^2-5x+4=0$ が出てくる.
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x=1, 4$
グラフは上のように, $x=1$ と $x=4$ で $x$ 軸との共有点をもつ.
このグラフのうち, $y<0$ となるのは, 以下の部分である.
これより, $1<x<4$ である.
(4) $-6x^2+7x+3\le0$
(3) と同様に考える.
$-6x^2+7x+3=0$
$6x^2-7x-3=0$
$(2x-3)(3x+1)=0$
$x=\dfrac32, -\dfrac13$
であるので, $-\dfrac13\le x\le\dfrac32$ で... はないです.
(3) と同様に解いてみたけど, 問題の決定的な違いがある. $x^2$ の係数の符号が違うので, グラフが...
そう、上に凸のグラフになるんですよね.
なので, 解は $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ である.
このような勘違いを回避するためには, 常に $x^2$ の係数は正になるようにするようにする.
$-6x^2+7x+3 \le 0$
$6x^2-7x-3 \ge 0$
この $2$ 次不等式を (3) と同様に解くことで, $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ を得る.
(5) $3x^2+4x+2>0$
これも同様に解く人が多いので...
$3x^2+4x+2=0$
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\times2}}{3}
= \dfrac{-2\pm\sqrt{-2}}{3}$
であるので, 解は $x<\dfrac{-2-\sqrt{-2}}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt{-2}}{3}<x$ である.
なんて書いたら, そもそもが間違いである.
$\sqrt{-2}$ って, 根号ｂの中が負になっている時点でこれは...
そうか, 複素数にしなくちゃいけないんだ!!
$x<\dfrac{-2-\sqrt2i}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt2i}{3}<x$ って事... でもないんですよ.
そもそも虚数では, 大小が定義されないものですから. 不等号で評価することが出来ないものです.
では, どうしたらいいのか.
解の公式を使っても実数解が出てこない... ということで, 解なし, というのも違います.
そもそも, 解なしになったのは, $2$ 次不等式なんですよね. ということは, $x$ 軸との共有点がない, ということ.
実際に, $y=3x^2+4x+2$ のグラフをかいてみると, 以下のようになる.
そう, 共有点がない, ということは, $x$ 軸と離れている, ということ.
となると, このグラフの中で, $y>0$ の部分は... すべての実数, となる.
この問題に関しては, もっとシンプルな別解がある.
$3x^2+4x+2 > 0$
$x^2+\dfrac43x+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2+\dfrac29 > 0$
ここで, $\left(x+\dfrac23\right)^2\ge0$ であるので, すべての実数に対してこの不等式が成り立つ.
よって, 解はすべての実数である.
例年であれば、部活動の遠征で、全日程を県外で過ごすのですが、新型コロナの影響で休校となっているので、またもや在宅勤務をするわけです。
つまり、遠征に行かない大型連休なんて、６年振りくらいですね。
去年なんかはもう記憶にないかも知れませんが、１０連休だったわけですよ。その１０日間のうち、中１日と最後の１日がオフだったわけですが、それで実家に帰省とかしても意味がないですし・・・
しかし、この先、どうなるんですかね？？９月入学で、って話が強くなってきましたが、その場合、在校生はどうなるんでしょうか？？私は私立高校に勤務しているので、収入はどうなるのでしょうか？？仮に９月入学となった場合、学校としては入学までの５ヶ月間は授業料収入がなくなるので、給料がなくなるのでしょうか？？スタディサプリで生徒対応したり、Google Classroom で課題配信をして指導をしたり、色々とやっているのに、それも無給でということになるのでしょうか？？在校生から取っている今の授業料も、９月から新学年がスタートとなった場合、５ヶ月分は無料、４月に払った分は９月の授業料、とかなるでしょうから、結局は５ヶ月分は、学校としては無収入になるわけですよね・・・在校生から、卒業までに３年５ヶ月分の授業料を取るわけにもいきませんから・・・
それにしても、この自宅勤務が続いているおかげで、今年もぬか床を作ることができました。例年だと、遠征が続いたりするので、冷蔵庫の中でゆっくりと発酵させていたのですが、今年は毎日ちゃんと面倒をみることができたので、室温の中で作ることができました。で、月曜日に漬けたきゅうりが、すごく美味しくなっていました。もう、これだけでご飯が食べられちゃいますよ。
さて、今日は Classroom で配信している課題の解説。
週末課題 No.03 です。
連立方程式と２次不等式の問題です。５問それぞれに、出題意図をもった問題です。
２次不等式を解くためには、２次関数のグラフをイメージしなくてはいけない、ということで、 desmos でグラフをかいて解説をしています。
方程式・不等式を解け.
(1) $\begin{cases}
x+y=5 \\
xy=3
\end{cases}$
連立方程式なのだが, 出題意図としては, 複号の使い方に慣れる, です.
第 $1$ 式より, $y=5-x$ なので, これを第 $2$ 式に代入すると,
$x(5-x) = 3$
$x^2-5x+3 = 0$
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}
= \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
このあと, この複号 ($\pm$) を含む計算をちゃんと出来るかどうかの問題でした.
$y=5-x$
$= 5-\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{10-5\mp\sqrt{13}}{2}$
$= \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}$.
より, $(x, y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5\mp\sqrt{13}}{2}\right)$（複号同順）.
この, $\pm$ と $\mp$ の使い分けを理解しているかが, この問題のメインである.
$-1 \times (\pm1) = \mp1$
となることを理解しているのであれば特に問題ないが, よく分からないのであれば, 最も確実なのは, 場合分けをしてそれぞれ計算することである.
$x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2}$,
$x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}$ のとき
$y=5-\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}$.
以上より,
$(x, y)\left(\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)$.
一応, 別解として, 数学 II で学ぶ解と係数の関係（の直後に学ぶ, $2$ 数を解にもつ方程式）を使って解くこともできます.
$2$ 数 $x$, $y$ を解にもつ $t$ を変数とする $2$ 次方程式の $1$ つは
$t^2-(x+y)t+xy = 0$
$t^2-5t+3=0$
（これで前述の $x$ の $2$ 次方程式と同じものができたので, 後は同様に解く）
(2) $\begin{cases}
2x+y+z = 7 \\
x+2y+z = 9 \\
x+y+2z = 8
\end{cases}$
ただの連立方程式の問題です. 掃き出し法（中学校で習う加減法）の意味をちゃんと理解しているかがポイントです.
第 $1$ 式 $-$ 第 $2$ 式より
$x-y = -2$,
第 $1$ 式 $\times2 -$ 第 $3$ 式より
$3x+y=6$,
この $2$ 式の和をとると
$4x = 4$
$x=1$,
これを順に代入すると,
$1-y=-2$
$y=3$,
$2\times1+3+z=7$
$z=2$.
掃き出し法（加減法）の一番のポイントは, 式を $1$ 本減らしてでも文字数を $1$ つ減らす, ということである. これにより, $n$ 個の文字があっても $n$ 本の（一次独立な）式があれば, これで解くことができる.
今回の問題は, 係数が cycle になっているので, 別解が存在する.
第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より,
$4x+4y+4z=24$
$x+y+z=6$,
第 $1$ 式, 第 $2$ 式, 第 $3$ 式それぞれからこの式を引くと,
$x=1$, $y=3$, $z=2$.
(3) $x^2-5x+4<0$
これは普通の $2$ 次不等式の問題です. “ふくは内”で解くのも $1$ つのやり方ではありますが, ちゃんと $2$ 次関数のグラフを使った方法を理解するようにさせるための問題です.
$2$ 次不等式を解くために, 何故因数分解をしたり, 解の公式を使ったりするのか.
それを理解していれば, (4) や (5) も同じように解けますよ, と言いたいがためのこの $3$ 問です.
$2$ 次関数 $y=x^2-5x+4$ を考える. $2$ 次不等式 $x^2-5x+4<0$ となるのは, グラフの $y<0$ 即ち $x$ 軸よりも下の部分である.
このグラフと $x$ 軸との共有点を調べるために, $x$ 軸の方程式である $y=0$ と連立する.
$\begin{cases}
y=x^2-5x+4 \\
y=0
\end{cases}$
これを解くために, 代入することで, $2$ 次方程式 $x^2-5x+4=0$ が出てくる.
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x=1, 4$
グラフは上のように, $x=1$ と $x=4$ で $x$ 軸との共有点をもつ.
このグラフのうち, $y<0$ となるのは, 以下の部分である.
これより, $1<x<4$ である.
(4) $-6x^2+7x+3\le0$
(3) と同様に考える.
$-6x^2+7x+3=0$
$6x^2-7x-3=0$
$(2x-3)(3x+1)=0$
$x=\dfrac32, -\dfrac13$
であるので, $-\dfrac13\le x\le\dfrac32$ で... はないです.
(3) と同様に解いてみたけど, 問題の決定的な違いがある. $x^2$ の係数の符号が違うので, グラフが...
そう、上に凸のグラフになるんですよね.
なので, 解は $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ である.
このような勘違いを回避するためには, 常に $x^2$ の係数は正になるようにするようにする.
$-6x^2+7x+3 \le 0$
$6x^2-7x-3 \ge 0$
この $2$ 次不等式を (3) と同様に解くことで, $x\le-\dfrac13$, $\dfrac32\le x$ を得る.
(5) $3x^2+4x+2>0$
これも同様に解く人が多いので...
$3x^2+4x+2=0$
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\times2}}{3}
= \dfrac{-2\pm\sqrt{-2}}{3}$
であるので, 解は $x<\dfrac{-2-\sqrt{-2}}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt{-2}}{3}<x$ である.
なんて書いたら, そもそもが間違いである.
$\sqrt{-2}$ って, 根号ｂの中が負になっている時点でこれは...
そうか, 複素数にしなくちゃいけないんだ!!
$x<\dfrac{-2-\sqrt2i}{3}$, $\dfrac{-2+\sqrt2i}{3}<x$ って事... でもないんですよ.
そもそも虚数では, 大小が定義されないものですから. 不等号で評価することが出来ないものです.
では, どうしたらいいのか.
解の公式を使っても実数解が出てこない... ということで, 解なし, というのも違います.
そもそも, 解なしになったのは, $2$ 次不等式なんですよね. ということは, $x$ 軸との共有点がない, ということ.
実際に, $y=3x^2+4x+2$ のグラフをかいてみると, 以下のようになる.
そう, 共有点がない, ということは, $x$ 軸と離れている, ということ.
となると, このグラフの中で, $y>0$ の部分は... すべての実数, となる.
この問題に関しては, もっとシンプルな別解がある.
$3x^2+4x+2 > 0$
$x^2+\dfrac43x+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac23 > 0$
$\left(x+\dfrac23\right)^2+\dfrac29 > 0$
ここで, $\left(x+\dfrac23\right)^2\ge0$ であるので, すべての実数に対してこの不等式が成り立つ.
よって, 解はすべての実数である.
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